函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a,b的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 07:01:11
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函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a,b的值.
函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a,b的值.
函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a,b的值.
f(x)=a(x-1)^2-a^2+b+2
先假设a>=0,那么f(x)在[2,3]上的最大值是f(3),最小值是f(2).因此有:
f(2)=-a^2+a+2+b=2
f(3)=-a^2+4a+2+b=5
解得:a=1,b=0,符合假设条件.
再假设a
由于a≠0.所以此函数为2次函数.:f(x)=ax^2-2ax+2+b=a(x-1)^2-a^2+2+b
所以当x=1时,有最小值
在区间中最小值为x=2
所以最小值为:f(x)=a-a^2+2+b=2①
最大值为x=3时.即:4a-a^2+2+b=5②
由此得:②-①可知a=1
所以b=0
f'(x)=2ax-2a=2a(x-1)
x属于[2,3]----->x-1>0;
(1): 当a>0时,即f(x)为增函数;
可知f(x)最大值=f(3)=3a+2+b=5,
f(x)最小值=f(2)=2+b=2
解得a=1,b=0;
(2): 当a<0时,即f(x)为减函数
可知f(x)最大值=f(2)=2+b=5,
f(x)最小值=f(3)=3a+2+b=2
解得 a=-1,b=3;