用函数单调性的定义证明函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 16:47:53
用函数单调性的定义证明函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数
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用函数单调性的定义证明函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数
用函数单调性的定义证明函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数

用函数单调性的定义证明函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数
设dx>0
则f(x+dx)-f(x)=(x+dx)²-4(x+dx)+5-(x²-4x+5)
=2xdx+dx²-4dx
=dx(2x+dx-4)
若x属于区间(2,正无穷),这有2x-4>0,又dx>0,故2x+dx-4>0
所以dx(2x+dx-4>0
即f(x+dx)-f(x)>0,所以函数f(x)=x²-4x+5在区间(2,正无穷)是增函数

证明:f(x)=x²-4x+5=(x-2)^2+1,
设x1,x2为(2,正无穷)上的两点,且x2>x1,
则f(x2)-f(x1)=(x2-2)^2-(x1-2)^2
由x2>x1
得f(x2)-f(x1)>0
即得证