问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2(an+1/an) (1)求S2的平方与S3的平方(2)求数列{an}的通项公式;(3)求证:1/2S1+1/3S2+`````+1/[(n+1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/07 05:48:42
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问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2(an+1/an) (1)求S2的平方与S3的平方(2)求数列{an}的通项公式;(3)求证:1/2S1+1/3S2+`````+1/[(n+1
问一个高二文数数列系列的一个题
已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2(an+1/an)
(1)求S2的平方与S3的平方
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求证:1/2S1+1/3S2+`````+1/[(n+1)Sn]小于2[1-1/(Sn+1)]
问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2(an+1/an) (1)求S2的平方与S3的平方(2)求数列{an}的通项公式;(3)求证:1/2S1+1/3S2+`````+1/[(n+1
(1)比较简单,就是一元二次方程计算.S2²=2,S3²=3.
(2)因为An=Sn-S
所以Sn=1/2(An+1/An)
Sn=1/2×[Sn-S+1/(Sn-S)]
==>Sn=1/2×[(Sn-S)²+1]/(Sn-S)
==>2Sn(Sn-S)=(Sn-S)²+1
==>2S²n-2Sn*S=S²n-2Sn*S+S²+1
==>2S²n=S²n+S²+1
==>S²n-S²=1
所列数列{Sn}是一个以S²1=1为首项 1为公差的等差数列
所以S²n=1+(n-1)*1=n ==>Sn=√n
所以An=Sn-S=√n=√(n-1)
An=√n-√(n-1)也满足A1=1
所以An=√n-√(n-1)
(3)首先要看出
2*(1/√1-1/√2)+……+2*[1/√n-1/√(n+1)]=2*[1-1/(Sn+1)]
接着只要证明1/[(n+1)Sn]=1/[√n*(n+1)]<2*[1/√n-1/√(n+1)]即可证明原式.
现在证明1/[√n*(n+1)]<2*[1/√n-1/√(n+1)]
通分作差.
2*[1/√n-1/√(n+1)]-1/[√n*(n+1)]
=[√(n²+4n+1)-√(n²+4n)]/[√n*(n+1)]
>0,原式得证.
1)2Sn=an+1/an 将an=Sn-Sn_1带入得Sn2-Sn_12=1 所以{Sn2}为等差数列 所以Sn2=n
1)2)解决了 3)不会了