已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 09:50:48
![已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.](/uploads/image/z/6950787-51-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E6%98%AFR%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94%E6%81%92%E6%9C%89f%28x%2B2%29%3D-f%28x%29+%E5%8F%88%E5%BD%93x%E2%88%88%E3%80%940%2C1%E3%80%95%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3Dx%5E3.%E6%B1%82+%E5%BD%93x%E2%88%88%E3%80%941%2C5%E3%80%95%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F.)
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
结果是分段函数;
因为f(x+2)=-f(x)且f(-x)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[f(-x)]=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数
因为f(x)为奇函数,且过原点,有周期函数关于原点对成可知
f(x)=x^3 x属于(-1,1)
又,当x属于(-3,-1)时,x+2属于(-1,1),故f(x+2)=(x+2)^3=-f(x)
所以,x属于(-3,-1)时,f(x)=(x+2)^3.
这样,我们得到x在(-3,-1)和(-1,1)上f(x)的解析式.
又,当x属于(1,3)时,x-4属于(-3,-1),所以
f(x-4)=(x-2)^3=f(x) %%这步看懂了吗?%%
当x属于(3,5)时,x-4属于(-1,1),所以
f(x-4)=(x-4)^3=f(x) %%这步呢?%%
综上所述:
f(x)= (x-2)^3 x属于(1,3)
f(x)=(x-4)^3 x属于(3,5)
认真看我写的每一步,这上面不好书写,最好在草稿纸上自己用数学符号抄写一遍你就懂了!
f(x)=-f(-x) ...(1)
f(x+2)=-f(x) ...(2)
f(x+4)=-f(x+2+2)=f(x) ...(3)
(1)得f(x)=x^3 当x∈〔-1,1〕时
(2)得f(x+2)=-f(x)=-x^3
所以f(x)=-(x-2)^3 当x∈〔1,3〕时 ...(4)
(3)得f(x+4)=f(x)=x^3
所以f(x)=(x-4)^3 当x∈〔3,5〕时 ...(5)
(4) (5)合并
f(-x)=-f(x)
易知x∈(-1,0)时,f(x)=x^3
任意x∈(-1,0),x+2∈(1,2)而f(x+2)=-f(x) =-x^3
令x+2=t,t∈(1,2),x=t-2,f(t)=-(t-2)^3.
类似的,有x∈〔0,1〕可知区间(2,3)的表达式。递推即得。
x∈〔-1,0〕,-x∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=x^3
x∈〔-2,-1〕,x+2∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=-(x+2)^3
x∈〔-3,-2〕,x+2∈〔-1,0),-x-2∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-(x+2)^3
同理x∈〔-4,-3〕,x+4∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=...
全部展开
x∈〔-1,0〕,-x∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=x^3
x∈〔-2,-1〕,x+2∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=-(x+2)^3
x∈〔-3,-2〕,x+2∈〔-1,0),-x-2∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-(x+2)^3
同理x∈〔-4,-3〕,x+4∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=f(x+4)=(x+4)^3
x∈〔-5,-4),x+4∈〔-1,0),-x-4∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-f(-x-4)=(x+4)^3=-(x+2)^3=x^3
又因为是奇函数
所以x∈〔1,5),f(x)=-(x+2)^3=x^3
收起
=3