求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 11:39:31
![求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)](/uploads/image/z/6957129-57-9.jpg?t=%E6%B1%821%2F%28n%2B1%29%2B1%2F%28n%2B2%29%2B%E2%80%A6%E2%80%A61%2F%28n%2Bn%29%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%28%E4%B8%8D%E7%94%A8%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%29)
求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
可以用调和级数的有限项的值为ln(n+1)+r ,r为欧拉常数
1+1/2+1/3+.1/n=ln(n+1)+r
1+1/2+1/3+.1/2n=ln(2n+1)+r
两者相减得
1/(n+1)+1/(n+2)+...1/2n=ln(2n+1)-ln(n+1)=ln[(2n+1)/(n+1)]
取极限得结果为ln2
根据Euler对调和级数和公式的证明(可参见http://baike.baidu.com/view/1179291.htm)有:
1+1/2+...+1/n=ln(n+1)+r(n)
1+1/2+...+1/(n+n)=ln(2n+1)+r(2n)
两式相减即得:1/(n+1)+...+1/(n+n)=ln(2n+1)-ln(n+1)+r(2n)-r(n) (*)...
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根据Euler对调和级数和公式的证明(可参见http://baike.baidu.com/view/1179291.htm)有:
1+1/2+...+1/n=ln(n+1)+r(n)
1+1/2+...+1/(n+n)=ln(2n+1)+r(2n)
两式相减即得:1/(n+1)+...+1/(n+n)=ln(2n+1)-ln(n+1)+r(2n)-r(n) (*)
其中r(n)为Euler常数,且Euler已证明在n->无穷时r(n)->常数.
故n->无穷时,(*)=ln(2n+1)-ln(n+1)=ln((2n+1)/(n+1))=ln2
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