作业帮已知点A(-3,4)B(1,5),在直线l:x-2y+4=0上找一点p,则|PA|+|PB|的最小值不是这两点间的距离吗?.[不在直线两侧?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:26:42
已知点A(-3,4)B(1,5),在直线l:x-2y+4=0上找一点p,则|PA|+|PB|的最小值不是这两点间的距离吗?.[不在直线两侧?
已知点A(-3,4)B(1,5),在直线l:x-2y+4=0上找一点p,则|PA|+|PB|的最小值
不是这两点间的距离吗?.[不在直线两侧?
已知点A(-3,4)B(1,5),在直线l:x-2y+4=0上找一点p,则|PA|+|PB|的最小值不是这两点间的距离吗?.[不在直线两侧?
因为将A,B坐标分别代入x-2y+4计算：-3-2*4+4<0,1-2*5+4<0,
所以A,B两点在直线l: x-2y+4=0 的同侧.
设B‘为B关于x-2y+4=0的对称点,
则BB'⊥l,得BB‘为2x+y-7=0,
联立x-2y+4=0与2x+y-7=0,解得BB'与直线l的交点C(2,3),
由中点公式得B'的坐标为B'(3,1).
设P是直线l:x-2y+4=0上一点,
仅当A,P,B‘ 三点共线时,即P为直线AB'与直线l的交点时,|PA|+|PB’|有最小值|AB'|.
（此由三角形两边之和大于第三边可证）
显然三角形BCP与三角形B'CP全等,即|PB|=|PB'|,
于是|PA|+|PB|=|PA|+|PB‘|.
故在直线l:x-2y+4=0上找一点P为直线AB'与直线l的交点时,
则|PA|+|PB|的最小值为|AB'|=√45=3√5 .