四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一点,PE=2EC设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.不用向量,用几何方法怎么求.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 02:20:34
![四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一点,PE=2EC设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.不用向量,用几何方法怎么求.](/uploads/image/z/6966596-20-6.jpg?t=%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E6%9F%B1P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E4%B8%BA%E6%A3%B1%E5%BD%A2%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2CAC%3D2%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2CPA%3D2E%E6%98%AFPC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2CPE%3D2EC%E8%AE%BE%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-PB-C%E4%B8%BA90%C2%B0%2C%E6%B1%82PD%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92.%E4%B8%8D%E7%94%A8%E5%90%91%E9%87%8F%2C%E7%94%A8%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%B1%82.)
四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一点,PE=2EC设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.不用向量,用几何方法怎么求.
四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一点,PE=2EC
设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
不用向量,用几何方法怎么求.
四棱柱P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥平面ABCD,AC=2根号2,PA=2E是PC上的一点,PE=2EC设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.不用向量,用几何方法怎么求.
由于PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB、PA⊥AC、PA⊥AD,所以△PAB、△PAC、△PAD均为直角三角形,所以PC=√(PA∧2+AC∧2)=√(2∧2+(2√2)∧2),即PC=2√3①;取PC的中点F,记AC和BD的交点为G,连接AF、PG、FG;AF=PF=PC/2=√3(AF、PF均为直角三角形PAC外接圆的半径),FG=PA/2=1(FG为直角三角形PAC边PC、AC上的中位线),且FG//PA,即FG⊥AC,所以FG/AG=1/√2,PA/AG=2/√2=√2,所以(FG/AG)(PA/AG)=(1/√2)√2=1,所以AF⊥PG②;另,DG⊥AC(菱形对角线相互垂直平分),PA⊥DG(PA⊥面ABCD),即DG⊥PA,所以DG⊥面PAC,所以DG⊥AF,即AF⊥DG③;由②、③得AF⊥面PBD,所以AF⊥PB,即PB⊥AF④;做直角三角形PAB斜边PB上的高AH,垂足为H,即PB⊥AH⑤,连接FH,由④、⑤得PB⊥面AFH,所以PB⊥HF,所以∠AHF=二面角A-B-C,依据题意∠AHF=90°;所以PF=AF=√(HF∧2+PH∧2)=√(HF∧2+AH∧2)=√3,所以PH=AH,所以直角三角形PAH为等腰直角三角形,所以∠APB=45°,所以直角三角形PAB也为等腰直角三角形,所以AB=PA=2,所以AB=BC=CD=AD=2(菱形四边相等);因为AB∧2+BC∧=2∧2+2∧2=8,AC∧2=(2√2)∧2=8,所以AB∧2+BC∧2=AC∧2,所以ABCD为边长为2的正方形;由上可知,AH⊥PB、AH⊥HF,所以AH⊥面PBC,即AH为面PBC的法线,所以PD和面PBC的夹角=90°-PD和AH的夹角;不难知道PD为正方体表面正方形的对角线,AH为正方体表面正方形对角线的一半,正方体任意三个相互垂直的表面的三条对角线不仅相等,而且经过平移任意两条对角线总能归入一个等边三角形,所以这样三条对角线任意两条的夹角为60°,所以PD和AH的夹角为60°,所以PD和面PBC的夹角为30°