已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数):(1)p为何值时,上述方程恰有两个不等实数(2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 07:32:56
![已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数):(1)p为何值时,上述方程恰有两个不等实数(2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.](/uploads/image/z/7081690-58-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5t%E6%98%AF%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E3-3x%2Bp%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%28p%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%29%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89p%E4%B8%BA%E4%BD%95%E5%80%BC%E6%97%B6%2C%E4%B8%8A%E8%BF%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%81%B0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%AE%9E%E6%95%B0%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E5%BD%93%E4%B8%8A%E8%BF%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%BB%85%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%E6%97%B6%2C%7Cp%7C%E5%A4%A7%E4%BA%8E2.)
已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数):(1)p为何值时,上述方程恰有两个不等实数(2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.
已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数):(1)p为何值时,上述方程恰有两个不等实数
(2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.
已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数):(1)p为何值时,上述方程恰有两个不等实数(2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.
因为t是方程的一个根,那么原方程可写为 (x-t)(ax²+bx+c)=0的形式,其中a、b、c都是实数
x³-3x+p=0
x³-tx²+tx²-t²x+t²x-3x-t(t²-3)+t³-3t+p=0
x²(x-t)+tx(x-t)+(t²-3)(x-t)+(t³-3t+p)=0
(x-t)(x²+tx+t²-3)+(t³-3t+p)=0
所以 p=3t-t³
(1)方程有两个不等的实数根
因为已经有一根t
那么x²+tx+t²-3=0只有一解,即△=0
所以t²-4t²+12=0
t=±2
所以 p=±2
检验:
当t=2时,p=-2,原方程:x³-3x-2=0
x³-2x²+2x²-4x+x-2=0
x²(x-2)+2x(x-2)+(x-2)=0
(x-2)(x+1)²=0
x=2 或者 x=-1
当t=-2时,p=2,原方程:x³-3x+2=0
x³+2x²-2x²-4x+x+2=0
x²(x+2)-2x(x+2)+(x+2)=0
(x+2)(x-1)²=0
x=-2 或者 x=1
(2).方程仅有一实根时
因为已经有一根t
那么x²+tx+t²-3=0无实数解,即△<0
所以 t²-4t²+12<0
t²>4
t>2 或者 t<-2
所以 t²>4
所以 3-t²<-1
所以 t(3-t²)<-2 或者 t(3-t²)>2
因为 p=3t-t³=t(3-t²)
所以 ∣p∣=∣t(3-t²)∣>2