作业帮abc均为实数 a^2+b^2=7,b^2+c^2=8,c^2+a^2=9,则ab+bc+ac的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:22:03
abc均为实数 a^2+b^2=7,b^2+c^2=8,c^2+a^2=9,则ab+bc+ac的最小值为
abc均为实数 a^2+b^2=7,b^2+c^2=8,c^2+a^2=9,则ab+bc+ac的最小值为
abc均为实数 a^2+b^2=7,b^2+c^2=8,c^2+a^2=9,则ab+bc+ac的最小值为
已知：a²+b²=7,b²+c²=8,a²+c²=9.
求：ab+ac+bc的最小值.
首先,根据已知条件,解出a、b、c的值.
根据已知,
a²+b²=7 ①
b²+c²=8 ②
a²+c²=9 ③
三式相加得:a^2+b^2+c^2=12 (4)
(4)-③,得
b²=3,即b=±√3.（√表示根号）
将b²的值代入①中,得
a²=4,即a=±2.
将a²的值代入(3)中,得,
c²=5,即c=±根号5.
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=12+2(ab+bc+ca)
要求ab+bc+ca的最小值,即求(a+b+c)^2的最小值.
可以得到当a=2,b=根号3,c=-根号5或a=-2,b=-根号3,c=根号5时,(a+b+c)^2最小
即(a+b+c)^2=(2+根号3-根号5)^2=4+3+5+4根号3-4根号5-2根号15=12+4根号3-4根号5-2根号15
所以,ab+bc+ca的最小值=(12+4根号3-4根号5-2根号15-12)/2=2根号3-2根号5-根号15
不好意思,昨天把c的值算错了,今天特来改正一下.有什么不明白的地方,给我发消息.
∵a^2+b^2≥2ab，b^2+c^2≥2bc，c^2+a^2≥2ca
∴a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2≥2(ab+bc+ac)
ab+bc+ac≤1/2(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)=1/2(7+8+9)=12
即ab+bc+ac的最大值为12
-3根号3
注意到a^2,b^2,c^2是可以解出来的！！
(1),解关于a²,b²,c²的三元一次方程组{a²+b²=7,b²+c²=8,c²+a²=9}得a²=4,b²=3,c²=5.===>a²+b²+c²=12,|a|=2,|b|=√3,|c|=√5.(2)因(a+b+c)²=a²...
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(1),解关于a²,b²,c²的三元一次方程组{a²+b²=7,b²+c²=8,c²+a²=9}得a²=4,b²=3,c²=5.===>a²+b²+c²=12,|a|=2,|b|=√3,|c|=√5.(2)因(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca).===>ab+bc+ca=[(a+b+c)²/2]-6.故问题可化为求(a+b+c)²的最小值。即使得|a+b+c|最小。易知，当a=2,b=√3,c=-√5设，|a+b+c|最小 .故（ab+bc+ca)min=2√3-√15-2√5.
收起
解得a^2=4,b^2=3,c^2=5
所以a=土2,b=土厂3,c=土厂5
所以，ab+bc+ac的最小值为：2厂3-2厂5-厂15