如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 05:30:22
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如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
设直线 L1 斜率为 K1 L2 为K2 两直线交点为M
则平移直线的L1,L2 使交点M与原点重合 则斜率不变
直线方程为 y=k1x+b y=k2x+b 有 他们过原点
直线方程为y=k1x y=k2x 与x轴夹角为 a1 a2
则可知分别过点(0,0)(1,k1)
(0,0)(1,k2)
cos(a1-a2)=cosa1cosa2+sina1sina2
=1/{(1+K1^2)^0.5*(1+K2^2)^0.5}+k1*k2/(1+K1^2)^0.5*(1+K2^2)^0.5
=(1+k1*k2)/(1+K1^2)^0.5*(1+K2^2)^0.5
分母 恒大于0 欲使等式为0 则 1+k1k2=0 即 k1k2=-1 时 cos(a1-a2)=0 即 夹角90度
在坐标轴上设两直线a和b,斜率分别为k1和k2,且k1和k2满足K1*K2=-1。a和b与x轴分别相交于A点和B点,a和b相交于C点,过C点作AB的垂线,垂足为D
由斜率定义得CD/AD=k1,-CD/BD=K2
因为k1*k2=-1
所以CD/AD=BD/CD
所以△ACD和△CBD是相似三角形
所以∠B=∠ACD
因为∠A=90°-∠ACD
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在坐标轴上设两直线a和b,斜率分别为k1和k2,且k1和k2满足K1*K2=-1。a和b与x轴分别相交于A点和B点,a和b相交于C点,过C点作AB的垂线,垂足为D
由斜率定义得CD/AD=k1,-CD/BD=K2
因为k1*k2=-1
所以CD/AD=BD/CD
所以△ACD和△CBD是相似三角形
所以∠B=∠ACD
因为∠A=90°-∠ACD
所以∠B+∠A=90°
所以△ACB是直角三角形,∠ACB是直角
所以直线a⊥直线b
由此证得K1*K2=-1时,两直线垂直
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设L1的斜率为K1,L2的斜率为k2,那么它们的方向向量就分别为(1,K1)、(1,K2),则
(1,K1)×(1,K2)=1+K1×K2,而K1*K2=-1,
则(1,K1)×(1,K2)=0,那么它们相互垂直。
两直线a,b分别为k1,k2的斜率
不论其在坐标轴上处于什么角度,设a和x轴成α角度
那b和x轴就是90°+α的角度
则tan(90°+α)=-1/tanα
注推算过程:tan(90+α)=sin(90+α)/cos(90+α)=cosα/(-sinα)=-cotα=-1/tanα
很显然,k1=tanα,k2=tan(90°+α)
两者积恒等于-1...
全部展开
两直线a,b分别为k1,k2的斜率
不论其在坐标轴上处于什么角度,设a和x轴成α角度
那b和x轴就是90°+α的角度
则tan(90°+α)=-1/tanα
注推算过程:tan(90+α)=sin(90+α)/cos(90+α)=cosα/(-sinα)=-cotα=-1/tanα
很显然,k1=tanα,k2=tan(90°+α)
两者积恒等于-1
以上推算过程是代数过程,实际上你也可以用几何方法进行变化转替分母分子
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