正数列a0,a1,a2.an...满足√ana(n-2)—√a(n-1)a(n-2)=2a(n-1) (n≥2) ,且a0=a1=1,求通项.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 17:21:03
![正数列a0,a1,a2.an...满足√ana(n-2)—√a(n-1)a(n-2)=2a(n-1) (n≥2) ,且a0=a1=1,求通项.](/uploads/image/z/7141892-68-2.jpg?t=%E6%AD%A3%E6%95%B0%E5%88%97a0%2Ca1%2Ca2.an...%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E2%88%9Aana%28n-2%29%E2%80%94%E2%88%9Aa%28n-1%29a%28n-2%29%3D2a%28n-1%29+%28n%E2%89%A52%EF%BC%89+%2C%E4%B8%94a0%3Da1%3D1%2C%E6%B1%82%E9%80%9A%E9%A1%B9.)
正数列a0,a1,a2.an...满足√ana(n-2)—√a(n-1)a(n-2)=2a(n-1) (n≥2) ,且a0=a1=1,求通项.
正数列a0,a1,a2.an...满足√ana(n-2)—√a(n-1)a(n-2)=2a(n-1) (n≥2) ,且a0=a1=1,求通项.
正数列a0,a1,a2.an...满足√ana(n-2)—√a(n-1)a(n-2)=2a(n-1) (n≥2) ,且a0=a1=1,求通项.
原式两边同时除以a(n-1)得
√[ana(n-2)/a(n-1)^2]—√[a(n-2)/a(n-1)]=2
令Bn=√[an/a(n-1)],则B1=√(a1/a0)=1
所以Bn/B(n-1)-1/B(n-1)=2
即Bn=2B(n-1)+1(n≥2)
所以Bn+1=2[B(n-1)+1],B1+1=2
所以{Bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列
所以Bn+1=2^n
所以Bn=2^n-1=√[an/a(n-1)]
所以an=[an/a(n-1)]*[a(n-1)/a(n-2)]*...*(a2/a1)*(a1/a0)*ao
=(2-1)(2^2-1)(2^3-1)...(2^n-1),其中n≥1
当n=0时,a0=1
原式两边同时除以a(n-1)得
√[ana(n-2)/a(n-1)^2]—√[a(n-2)/a(n-1)]=2
令Bn=√[an/a(n-1)],则B1=√(a1/a0)=1
所以Bn/B(n-1)-1/B(n-1)=2
即Bn=2B(n-1)+1(n≥2)
所以Bn+1=2[B(n-1)+1],B1+1=2
所以{Bn+1}是首项为2,公比为2的等...
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原式两边同时除以a(n-1)得
√[ana(n-2)/a(n-1)^2]—√[a(n-2)/a(n-1)]=2
令Bn=√[an/a(n-1)],则B1=√(a1/a0)=1
所以Bn/B(n-1)-1/B(n-1)=2
即Bn=2B(n-1)+1(n≥2)
所以Bn+1=2[B(n-1)+1],B1+1=2
所以{Bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列
所以Bn+1=2^n
所以Bn=2^n-1=√[an/a(n-1)]
an/a(n-1) =(2^n-1) ^2
所以an=[an/a(n-1)]*[a(n-1)/a(n-2)]*...*(a2/a1)*(a1/a0)*ao
=[ (2-1)(2^2-1)(2^3-1)...(2^n-1) ] ^2,其中n≥1
当n=0时,a0=1
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