2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方得多少我去看了其他解法2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)=8[50*(50+1)/2]^2=13005000如果正确请告诉我为什么这样解,主要是为什么这样解那这个
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 13:57:17
![2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方得多少我去看了其他解法2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)=8[50*(50+1)/2]^2=13005000如果正确请告诉我为什么这样解,主要是为什么这样解那这个](/uploads/image/z/7152625-1-5.jpg?t=2%E7%9A%84%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8A%A04%E7%9A%84%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8A%A06%E7%9A%84%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%B8%80%E7%9B%B4%E5%8A%A0%E5%88%B0100%E7%9A%84%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%BE%97%E5%A4%9A%E5%B0%91%E6%88%91%E5%8E%BB%E7%9C%8B%E4%BA%86%E5%85%B6%E4%BB%96%E8%A7%A3%E6%B3%952%5E3%2B4%5E3%2B...%2B%282n%29%5E3%2B...100%5E3%3D2%5E3%281%2B2%5E3%2B3%5E3%2B...%2B10%5E3%29%3D8%5B50%2A%2850%2B1%29%2F2%5D%5E2%3D13005000%E5%A6%82%E6%9E%9C%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E8%AF%B7%E5%91%8A%E8%AF%89%E6%88%91%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E8%BF%99%E6%A0%B7%E8%A7%A3%2C%E4%B8%BB%E8%A6%81%E6%98%AF%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E8%BF%99%E6%A0%B7%E8%A7%A3%E9%82%A3%E8%BF%99%E4%B8%AA)
2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方得多少我去看了其他解法2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)=8[50*(50+1)/2]^2=13005000如果正确请告诉我为什么这样解,主要是为什么这样解那这个
2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方
得多少
我去看了其他解法
2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)
=8[50*(50+1)/2]^2=13005000
如果正确请告诉我为什么这样解,主要是为什么这样解
那这个公式:[n(n+1)/2]的平方
2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方得多少我去看了其他解法2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)=8[50*(50+1)/2]^2=13005000如果正确请告诉我为什么这样解,主要是为什么这样解那这个
正确~这是……立方和公式,具体去百度输入立方和公式就可得到详细解答
1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=(1+2+……+n)^2
[编辑本段]
公式证明
我们知道:
0次方和的求和公式∑N^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式∑N^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式∑N^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
取公式:(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就有:
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1.(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1.(3)
.
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1.(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+.+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+.+N^2)+4(1+2+3+.+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+.+N^2)+4(1+2+3+.+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+.+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+.+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+.+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成!
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+.+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
我来补充几句
立方和是先立方再求和
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式是
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
立方和公式:
a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
立方差公式:
a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
全部展开
我来补充几句
立方和是先立方再求和
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式是
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
立方和公式:
a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
立方差公式:
a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
3项立方和公式:
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) +3abc
推导过程:
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
我们知道:
0次方和的求和公式∑N^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式∑N^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式∑N^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
取公式:(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就有:
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成!
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
关于因数的立方和
一般而言,任取一自然数N,他的因数有1,n1,n2,n3,……,nk,N,这些因数的因数个数分别为1,m1,m2,m3,……,mk,k+2,则
1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3
=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2)^2
我们发现,上述规律对素数p是永远成立的,因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有1和2,所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明,有中学水平的人可以自己证明。
比如120,有因数
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120;它们的因数个数为
1,2,2,3,2,4,4,4,6,4,6,8,8,8,12,16,
1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100
(1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16)^2=8100
收起