作业帮想要挑战的进来,斐波那挈数列的通项公式1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…… 从第三项起,每项都等于前两项的和大一时我曾经写出一个很麻烦的通项公式,只是含有参数,对不同项要经过计算先确定参数值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 08:01:59
想要挑战的进来,斐波那挈数列的通项公式1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…… 从第三项起,每项都等于前两项的和大一时我曾经写出一个很麻烦的通项公式,只是含有参数,对不同项要经过计算先确定参数值
想要挑战的进来,斐波那挈数列的通项公式
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……
从第三项起,每项都等于前两项的和
大一时我曾经写出一个很麻烦的通项公式,只是含有参数,对不同项要经过计算先确定参数值,再计算这项的值,不知能不能化简
想要挑战的进来,斐波那挈数列的通项公式1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…… 从第三项起,每项都等于前两项的和大一时我曾经写出一个很麻烦的通项公式,只是含有参数,对不同项要经过计算先确定参数值
斐波那挈数列又称兔子数列．
递推公式是：a1=a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)（n>2）
通项公式是：F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
显然这是一个线性递推数列.
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【√5表示根号5】
好复杂