111（福建区用的最好）希望杯的也成

111（福建区用的最好）希望杯的也成
111
（福建区用的最好）希望杯的也成

111（福建区用的最好）希望杯的也成
2004年全国高中数学联合竞赛(福建初赛)
福建省福州市第二十七届高中数学竞赛试卷
2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷（含详细解答）

初三数学竞赛试卷
题 号 一 二 三 总 分
1~8 9~14 15 16 17 18
得 分
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分. 以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分)
1．如果 ，那么代数式m是 ...

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初三数学竞赛试卷
题 号 一 二 三 总 分
1~8 9~14 15 16 17 18
得 分
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分. 以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分)
1．如果 ，那么代数式m是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．在平面直角坐标系中，点A（ ， ）在第四象限，那么点
B（ ， ）在 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，点A表示数x，则x2的平方根是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）2
4．如果 ，那么 等于 ( )
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．考虑下列4个命题：
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④对角线相等的梯形是等腰梯形．
其中正确命题的序号是 ( )
(A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④
6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是 ( )
（A）大于1
（B）等于1
（C）小于1
（D）小于或等于1
7．已知梯形的两条对角线分别为m与n，两对角线的夹角为60 0. 那么，该梯形的面积为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8．已知，正整数n，k满足不等式 ，那么当n与k取最小值时，n+k的值为 （ ）
（A）29 （B）30 （C）31 （D）32
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．已知⊙O的直径AB=2 cm，过点A有两条弦AC=2cm，AD= cm，那么劣弧CD 的度数为_________.
10．已知，关于x的一元二次方程 与 只有一个公共的根，那么方程 所有的根的和是 .
11．在写有整式 ， ， ， ， ， ， ， 的卡片中，任意选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是 .
12．如图，直线 与x轴、
y轴分别交于A点和B点，C是OB上的一
点，若将ABC沿AC翻折得到AB/C，B/
落在x轴上，则过A，C两点的直线的解析
式是 .
13．若 ，则 = .
14．如图，在ABC中，C=90，D、E
分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的
圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好与
⊙D相切于点F. 如果AC= ，那么⊙D的半
径= .
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）
15．已知，一次函数 （ 是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为 （即k=1时，得 ，k=2时，得 ，┅）.试求 + + + 的值.
16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售. 已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 根据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?
17．已知，∆ABC和∆A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，如图1.
(1)当∆A1B1C1绕点D旋转到∆A2B2C2时，试判断AA2与CC2的位置关系，并证明你的结论.
(2)如果当∆A1B1C1绕点D旋转一周，顶点A1和AC仅有一个交点，设该交点为A3，如图3. 当AB=4时，求多边形ABDC3C的面积.
18．给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.
初三数学竞赛参考答案和评分意见

一、选择题(每小题5分，共40分)
1—8：ACAD BCBC
二、填空题(每小题5分，共30分)
9． 30°或150° 10． 0 11． 12． 13．1 14．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）
15．一次函数 的图象与两坐标轴的交点为（ ，0）、（0， ），
所围成的图形的面积为 . …………4分
∴ + + +
= …………8分
=
=
=
= . …………12分
16．设该商店每天批进这种食品x千克，每月获得的利润为y元．
（1）当 时，由题意，30天中批进这种食品的成本为 元，销售收入为元 ，退货所得为 元，
于是可得
即 …………4分
∵ 是一次函数，且y随x的增大而增大，
∴当 时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元． …………8分
（2）当 时，由题意，

化简得
∵ 是一次函数，且y随x的增大而减小，
∴当 时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元． …………12分
17．AA2⊥CC2. …………2分
（1）在图2中，连接AD、A2D、延长AA2
交BC于E，交CC2于F，
∵ÐADA2=90°-ÐA2DC=ÐCDC2，
（等边三角形都相似，相似三角形对应高的比等于相似比）
∴DAA2D∽DCC2D，于是得ÐA2AD=ÐC2CD …………5分
又因为ÐAED=ÐCEF，∴ÐADE=ÐCFE=90°
∴AA2⊥CC2. …………8分
（2）在图3中，连接A3D，过C3作C3G⊥BC于G，由（1）得AC⊥CC3，
由题意又得A3D⊥AC，
四边形A3CC3D是矩形.
∴C3C=A3D= ，
C3G= ，
∴多边形ABDC3C的面积=
= = . …………12分
18．经过2007步后得到495或0. …………2分
不妨设选定的三位数中的最大数字为 ，最小数字为 ，还有一个数字为 ，则 ， …………4分
现讨论如下：
（1） ， ，第一步结果0.
（2） ， ，第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792 ,第四步结果693，第五步结果954,第六步结果495.
（3） ， ，第一步结果198，第二步结果792，第三步结果692，第四步结果954，第五步结果495.
（4） ， ，第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954 ,第四步结果495.
（5） ， ，第一步结果396,第二步结果594,第三步结果495.
（6） ， ，第一步结果495.
（7） ， ，第一步结果594,第二步结果495.
（8） ， ，第一步结果693，第二步结果594，第三步结果495.
（9） ， ，第一步结果792 ,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495.
（10） ， ，第一步结果891,第二步结果792 ,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495.
由以上讨论可知至多6步可将一个三位数变为495或0，然后就进入循环，所以经过2007步后将得到495或0.
当 时，得到0；当 时，得到495. …………14分（讨论一种情况给1分）
记得采纳答案，谢谢

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