如何用尺规作图将一个任意角平均分为三等分这事一个很难得作图题!

如何用尺规作图将一个任意角平均分为三等分这事一个很难得作图题!
如何用尺规作图将一个任意角平均分为三等分
这事一个很难得作图题!

如何用尺规作图将一个任意角平均分为三等分这事一个很难得作图题!
三等分角
古希腊三大几何问题之一.
三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来.但无疑地它的出现是很自然的,就是我们自己在现在也可以想得到的.纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法,正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心,用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点,再分别以这两点为圆心,用一个适当的长作半径画弧,这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢?这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.
现已证明,在尺规作图的前提下,此题无解.
三等分角的历史：
公元前4世纪,托勒密一世定都亚历山大城.他凭借优越的地理环境,发展海上贸易和手工艺,奖励学术.他建造了规模宏大的“艺神之宫”,作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆,藏书75万卷.托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义,他邀请著名学者到亚历山大城,当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市.
亚历山大城郊有一座圆形的别墅,里面住着一位公主.圆形别墅中间有一条河,公主的居室正好建立在圆心处.别墅南北围墙各开了一个门,河上建了一座桥,桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上.国王每天赏赐的物品,从北门运进,先放到南门处的仓库,然后公主再派人从南门取回居室.
一天,公主问侍从：“从北门到我的卧室,和从北门到桥,哪一段路更远?”侍从不知道,赶紧去测量,结果是两段路一样远的.
过了几年,公主的妹妹小公主张大了,国王也要为她修建一座别墅.小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样,有河,有桥,有南北门.国王满口答应,小公主的别墅很快就动工了,当把南门建立好,要确定桥和北门的位置时,却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢?
设,北门的位置为Q,南门的位置为P,卧室（圆心）为O,桥为K,
要确定北门的和桥的位置,关键是做出∠OPQ,设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO,
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO,
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中,
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α这个角三等分,就能够确定出桥和北门的位置了.解决问题的关键是如何三等分一个角.
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置,可是他们用了很长的时间也没有解决.于是他们去请教阿基米德.
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法,解决了三等分一角的问题,从而确定了北门的位置.正当大家称赞阿基米德了不起时,阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行,但只是权宜之计,它是有破绽的.”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记,等于是做了刻度,这在尺规做图法则中是不允许的.
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角,这个问题连阿基米德都没有解答出来.

不可能的，现在还没有研究出来，前几年一个业余爱好者分出来了，不过后来根据数学家们用几何公理推理，方法不正确。

三等分角问题已经被严格的证明是不可能的（规尺作图）！

以下步骤是否符合“用尺规作一个角三等分”
第一步：利用三角函数的关系将已知角的三角函数转换成该角的三分之一函数关系式；
第二步：求解该一元三次方程；
第三步：cosα= Y，其中α是已知角的三分之一，У是条已知线段；
第四步：利用作图法求解y=cos3a
第五步：作出cosα所对应的角即为所求的角。
备注：任作一条线段为单位“1”，以它作为基准，作相...

全部展开

以下步骤是否符合“用尺规作一个角三等分”
第一步：利用三角函数的关系将已知角的三角函数转换成该角的三分之一函数关系式；
第二步：求解该一元三次方程；
第三步：cosα= Y，其中α是已知角的三分之一，У是条已知线段；
第四步：利用作图法求解y=cos3a
第五步：作出cosα所对应的角即为所求的角。
备注：任作一条线段为单位“1”，以它作为基准，作相关线段，其中涉及到线段的加、减、乘、除、平方关系等；过程是很复杂的，不能用word来全面的表述,只能用手工来完成，而且只能理论上来完成，没有实际的作图意义

收起