作业帮一道高三数学题,老师没解出来,谁会啊?题：方程为X^2+5Y^2=5,有两个动点在这个椭圆上,分别为A、B,O为原点,OA垂直于OB,过原点作OD垂直于AB,垂足为D,求点D的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 06:53:24
一道高三数学题,老师没解出来,谁会啊?题：方程为X^2+5Y^2=5,有两个动点在这个椭圆上,分别为A、B,O为原点,OA垂直于OB,过原点作OD垂直于AB,垂足为D,求点D的轨迹方程.
一道高三数学题,老师没解出来,谁会啊?
题：方程为X^2+5Y^2=5,有两个动点在这个椭圆上,分别为A、B,O为原点,OA垂直于OB,过原点作OD垂直于AB,垂足为D,求点D的轨迹方程.
一道高三数学题,老师没解出来,谁会啊?题：方程为X^2+5Y^2=5,有两个动点在这个椭圆上,分别为A、B,O为原点,OA垂直于OB,过原点作OD垂直于AB,垂足为D,求点D的轨迹方程.
此题可利用参数方程与面积法共同解题比较简单.
1、设OA长度=m,OB=n ,OA与x轴的正方向夹角为 &
因为OA垂直于OB,所以A的坐标为（mcos& ,msin&）,B的坐标为（nsin& ,ncos&）
因为A、B为椭圆上动点,所以满足方程得
m^2*(cos&)^2/5+m^2*(sin&)^2=1 方程两边同时除以m^2得 (cos&)^2/5+(sin&)^2= 1/m^2
同理可得n^2*(cos&)^2/5+n^2*(sin&)^2=1 方程两边同时除以n^2得 (sin&)^2/5+(cos&)^2= 1/n^2
把两个式子加起来得到 6/5=1/m^2+1/n^2
设D的坐标为（x ,y） 则OD的长为根号（x^2+y^2）
AB的长等于根号（m^2+n^2）
所以三角形AOB的面积等于1/2*OA*OB=1/2*AB*OD
即OA*OB=AB*OD
得m*n=根号(m^2+n^2)*根号（x^2+y^2）
两边同时平方得 m^2*n^2=(m^2+n^2)*（x^2+y^2）
所以（x^2+y^2）= (m^2*n^2）/(m^2+n^2)
将等式右边的式子进行化简
分子分母同时除以m^2*n^2得
x^2+y^2=1/(1/m^2+1/n^2)
又因为刚开始求得的1/m^2+1/n^2=6/5 得
x^2+y^2=5/6 所以D点的轨迹方程为圆,即x^2+y^2=5/6
有什么不明白的可以追问,希望对你有所帮助!望您采纳!