计算积分:(1)I=∫∫(D)ydσ,积分区域D是由曲线y²=x和y=-x+2围成的有界区域.(2)利用极坐标下的二重积分求欧拉积分I=∫e^(-x²)dx,其中是积分上限和积分下限
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 21:24:08
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计算积分:(1)I=∫∫(D)ydσ,积分区域D是由曲线y²=x和y=-x+2围成的有界区域.(2)利用极坐标下的二重积分求欧拉积分I=∫e^(-x²)dx,其中是积分上限和积分下限
计算积分:(1)I=∫∫(D)ydσ,积分区域D是由曲线y²=x和y=-x+2围成的有界区域.
(2)利用极坐标下的二重积分求欧拉积分I=∫e^(-x²)dx,其中是积分上限和积分下限
计算积分:(1)I=∫∫(D)ydσ,积分区域D是由曲线y²=x和y=-x+2围成的有界区域.(2)利用极坐标下的二重积分求欧拉积分I=∫e^(-x²)dx,其中是积分上限和积分下限
1
I=∫∫(D)ydσ
=∫(-2->1) ydy ∫(y^2->2-y) dx
=-9/4
2
∫(0->∞) e^(-x^2)dx=∫(0->∞) e^(-y^2)dy
所以∫(0->∞) e^(-x^2)dx
= √[∫(0->∞) e^(-x^2)dx * ∫(0->∞) e^(-y^2)dy]
=√[∫(0->∞)∫(0->∞)e^(-x^2-y^2)dxdy]
下面用极坐标计算∫(0->∞)∫(0->∞)e^(-x^2-y^2)dxdy
∫(0->∞)∫(0->∞)e^(-x^2-y^2)dxdy
=∫(0->π/2) ∫(0->+∞)e^(-r^2)rdrdθ
=(1/2)∫(0->π/2)dθ ∫(0->+∞) e^(-r^2)dr^2
=(π/4)∫(0->+∞) e^(-r^2)dr^2
=-(π/4)e^(-r^2) |∫(0->+∞)
=π/4
所以∫(0->∞) e^(-x^2)dx=√[∫(0->∞)∫(0->∞)e^(-x^2-y^2)dxdy]=(√π)/2