∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解:解法1:可得所求二重积分=∫(-π/2 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2:由对称性,上式又=2∫(0 ,π/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 23:06:01
![∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解:解法1:可得所求二重积分=∫(-π/2 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2:由对称性,上式又=2∫(0 ,π/2](/uploads/image/z/7908707-11-7.jpg?t=%E2%88%AB%E2%88%AB%28D%29+%28+R2-x2-y2+%291%2F2+dxdy+%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADD%E6%98%AF%E5%9C%86%E5%91%A8x2%2By2%3DRx%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E9%97%AD%E5%8C%BA%E5%9F%9F.%E6%98%BE%E7%84%B6%E7%94%A8%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%A7%A3%EF%BC%9A%E8%A7%A3%E6%B3%951%EF%BC%9A%E5%8F%AF%E5%BE%97%E6%89%80%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%87%8D%E7%A7%AF%E5%88%86%3D%E2%88%AB%EF%BC%88-%CF%80%2F2+%2C%CF%80%2F2%EF%BC%89d%CE%B8+%E2%88%AB%EF%BC%880+%2CRcos%CE%B8%EF%BC%89+r%28R2-r2%291%2F2dr%3D%CF%80R3%2F3%2C%E8%A7%A3%E6%B3%952%EF%BC%9A%E7%94%B1%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E6%80%A7%2C%E4%B8%8A%E5%BC%8F%E5%8F%88%3D2%E2%88%AB%EF%BC%880+%2C%CF%80%2F2)
∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解:解法1:可得所求二重积分=∫(-π/2 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2:由对称性,上式又=2∫(0 ,π/2
∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.
显然用极坐标解:
解法1:可得所求二重积分=∫(-π/2 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,
解法2:由对称性,上式又=2∫(0 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=R3/3(π-4/3).
为什么这两个式子得出的结果不一样,明明应该是相等的.
这个R2等等是指R的平方,显示不出来~
确定这个对称性是存在的,区域关于x轴对称,函数是关于y的偶函数(对称性的这个是答案上的做法)。
∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解:解法1:可得所求二重积分=∫(-π/2 ,π/2)dθ ∫(0 ,Rcosθ) r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2:由对称性,上式又=2∫(0 ,π/2
πR3/3是错了,你算错了,
因为=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ 注意要取绝对值!
∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy
=∫∫ r√(R²-r²) drdθ
=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] r√(R²-r²) dr
=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R²-r²) d(r²)
=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ
=(2R³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ
=(2R³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]
=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]
=(2R³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]
=(2R³/3)[π/2 -1 + 1/3]
=(2R³/3)[π/2 - 2/3]
=(R³/3)[π - 4/3]
你仔细想,那个域不是对称的