作业帮定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有几个实数根?请详细点说明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 10:46:32
![定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有几个实数根?请详细点说明.](/uploads/image/z/800312-32-2.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E4%BB%A52%E4%B8%BA%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%88%99%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3D0%E5%9C%A8%5B-2%2C2%5D%E4%B8%8A%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E5%87%A0%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%3F%E8%AF%B7%E8%AF%A6%E7%BB%86%E7%82%B9%E8%AF%B4%E6%98%8E.)
定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有几个实数根?请详细点说明.
定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有几个实数根?
请详细点说明.
定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有几个实数根?请详细点说明.
首先f(x)为周期为2的奇函数,
所以f(0)=0,
f(2)=f(0)=f(-2)=0
f(-1)=f(-1+2)=f(1)=-f(-1)
2f(-1)=0,f(-1)=0
f(1)=f(-1)=0
因此函数f(x)在【-2,2】上至少有五个根.
定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数
一定有f(0)=0
x=0是f(x)=0的一个根
因为周期为T=2
所以f(2)=f(0)=f(-2)=0
x=2或x=-2也是f(x)=0的根
假设a属于(0,2)时,恒有f(a)>0
a-2属于(-2,0),f(a-2)=f(a)>0
即对于任意b属于(-2,0),恒有f(b)>0
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定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数
一定有f(0)=0
x=0是f(x)=0的一个根
因为周期为T=2
所以f(2)=f(0)=f(-2)=0
x=2或x=-2也是f(x)=0的根
假设a属于(0,2)时,恒有f(a)>0
a-2属于(-2,0),f(a-2)=f(a)>0
即对于任意b属于(-2,0),恒有f(b)>0
而-a属于(-2,0),f(-a)=-f(a)<0
出现矛盾，所以假设不成立
在(0,2)上,并不恒有f(x)>0
至少存在在一个点m,使得f(m)<0
同理可知,至少存在一个点n,使得f(n)>0
则在x=m,与x=n之间,必存在一点k,使得f(k1)=0
同理,在区间(-2,0)上也至少存在一点k2,使f(k2)=0
x=k1, x=k2也是方程f(x)=0的两个根
综合得,所以方程f(x)=0在[-2,2]上至少有5个实数根
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