已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证:(1)PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 (2)AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 06:20:57
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已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证:(1)PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 (2)AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F
求证:
(1)PD/AD+PE/BE+PF/CF=1
(2)AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证:(1)PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 (2)AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
1.第一问题我做过在:http://zhidao.baidu.com/question/110502578.html
2.由PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 知PD/AD,PE/BE,PF/CF 中至少有一个不大于1/3 ,不妨设PD/AD ≤1/3 即3AD≤PD.
而AD=AP+PD,
∴AP≥2PD,
∴ AP/PD≥2,即Ap/PD 不小于2.
理可证三式中至少有一个不大于2.
第一问用面积法
PD/AD=S(三角形BPC)/S(ABC)
PE/BE=……
PF/CF=……
三者相加
PD/AD+PE/BE+PF/CF=S(BPC)+S(APB)+S(APC)/S(ABC)=1
至于第二问 就用抽屉嘛
由第一问结论 很好做
1.由面积概念得:
△PBC+△PAC+△PAB=△ABC (1)
整理等式得:
△PBC/△ABC+△PAC/△ABC+△PAB/△ABC=1 (2)
由面积概念得:
△PDC/△ADC=PD/AD △PDB/△ADB= PD/AD
经合比定律得:
△PBC/△ABC= PD/AD (3)
同样道理得:
全部展开
1.由面积概念得:
△PBC+△PAC+△PAB=△ABC (1)
整理等式得:
△PBC/△ABC+△PAC/△ABC+△PAB/△ABC=1 (2)
由面积概念得:
△PDC/△ADC=PD/AD △PDB/△ADB= PD/AD
经合比定律得:
△PBC/△ABC= PD/AD (3)
同样道理得:
△PAC/△ABC=PE/BE (4)
△PAB/△ABC=PF/CF (5)
把式(3)、(4)、(5)代入式(2)得:
PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 (6)
2)AP/PD,BP/PE,CP/PF三者至少有一个不大于2 至少有一个不小于2 ,即PD/AD、PE/BE+、PF/CF中至少有一个不大于1/3, 至少有一个不小于1/3。(例如,AP+PD=AD,AP/PD》2,则PD/AD《1/3)
三者中的最大肯定不小于三者的平均数,三者中的最小肯定不大于三者的平均数。
三者的和为1,则平均数为1/3。
在上一问得帮助下易得证。
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