求初中数学动点问题的题目及答案!354631366

求初中数学动点问题的题目及答案!354631366
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初二动点问题
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts．（1）当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?（2）当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?（3）当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?

分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可．

（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时,四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时,四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时,四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中．
如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．

（1）∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC,同理,OC=OF,∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形．如图AO=CO,EO=FO,∴四边形AECF为平行四边形,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE= ∠ACB,同理,∠ACF= ∠ACG,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°,∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形,∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,∵MN∥BC,∴∠BCA=∠AOM,∴∠BCA=90°,∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1）,再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2）,再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N．P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC,MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由；（4）探究：t为何值时,△PMC为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解；∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM：CA=CN：CB,（2）CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值．然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值．②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中,cos∠NCM= = ,CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD,即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分,则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时,S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t= ②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= ③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ,t2=-1（舍去）∴当t= ,t= ,t= 时,△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止．已知在相同时间内,若BQ=xcm（x≠0）,则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm．
（1）当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值；如果不能,请说明理由．
分析：
以PQ,MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．
以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND；当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0．这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形．

（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1= -1,x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20,此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5．此时DN=x2=25＞20,不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为 -1．（2）由（1）知,点Q只能在点M的左侧,①当点P在点N的左侧时,由20-（x+3x）=20-（2x+x2）,解得x1=0（舍去）,x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时,由20-（x+3x）=（2x+x2）-20,解得x1=-10（舍去）,x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F．由于2x＞x,所以点E一定在点P的左侧．若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去）,x2=4．由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s；点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?（2）当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
分析：
（1）根据平行四边形的性质,对边相等,求得t值；（2）根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可．

（1）∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-（15-t）=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容．
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出；②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出；③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出．

（1）过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12,∵QB=16-t,∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况
： ①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2,解得 ； ②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=（16-2t）2+122,由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2,此方程无解,∴BP≠PQ．③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ,t2=16（不合题意,舍去）．综上所述,当 或 时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象．
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止．点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒）,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质,得 PD=48-6t5,利用S= 12OQ×PD,即可求出答案；（3）令S= 485,求出t的值,进而求出OD、PD,即可求出P的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M的坐标．

（1）y=0,x=0,求得A（8,0）B（0,6）,（2）∵OA=8,OB=6,∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒）,∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时,OQ=t,OP=2t,S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,如图,做PD⊥OA于点D,由 PDBO=APAB,得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时,∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时,- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245,AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85, 245）M1（ 285, 245）,M2（- 125, 245）,M3（ 125,- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象．
1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形 的边长为4厘米,长为1厘米的线段 在 的边 上沿 方向以1厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时,点 与点 重合,点 到达点 时运动终止）,过点 分别作 边的垂线,与 的其它边交于 两点,线段 运动的时间为 秒．
1、线段 在运动的过程中, 为何值时,四边形 恰为矩形?并求出该矩形的面积；
（2）线段 在运动的过程中,四边形 的面积为 ,运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式,并写出自变量 的取值范围．
2、如图,在梯形 中, 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时,求 的值．
（3）试探究： 为何值时, 为等腰三角形．
3、如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(4,3),点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动,从O点出发到A点；动点N在AB上运动,从A点出发到B点．两个动点同时出发,速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时,MN∥OC?
(2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值?
若有最小值,最小值是多少?
(3)连接AC,那么是否存在这样的t,使MN与AC互相垂直?
若存在,求出这时的t值；若不存在,请说明理由．
2、（河北卷）如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,BC＝16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动．在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时,四边形PQBA是梯形?
（3）是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在,请简要说明理由．
3、（山东济宁）如图,A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点.OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB),直线BC平分∠ABO交x轴于C点,P为BC上一动点,P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动.
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2,求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m,P点的移动时间为t.
①当0＜t≤ 时,试求出m的取值范围；
②当t＞ 时,你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)?
4、在 中, 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ.设动点运动时间为x秒.
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时,设 的面积为 ,求 与月份 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时, 为直角三角形.
5、（杭州）在直角梯形 中, ,高 （如图1）.动点 同时从点 出发,点 沿 运动到点 停止,点 沿 运动到点 停止,两点运动时的速度都是 .而当点 到达点 时,点 正好到达点 .设 同时从点 出发,经过的时间为 时, 的面积为 （如图2）.分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点 在 边上从 到 运动时, 与 的函数图象是图3中的线段 .
（1）分别求出梯形中 的长度；
（2）写出图3中 两点的坐标；
（3）分别写出点 在 边上和 边上运动时, 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围）,并在图3中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象.
\x09
6、（金华）如图1,在平面直角坐标系中,已知点 ,点 在 正半轴上,且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动,设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示）,并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
（3）如果取 的中点 ,以 为边在 内部作如图2所示的矩形 ,点 在线段 上．设等边 和矩形 重叠部分的面积为 ,请求出当 秒时 与 的函数关系式,并求出 的最大值．
7、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置,点C、F重合,且BC、DF在一条直线上,其中AC=DF=4,BC=EF=3．固定Rt△ABC不动,让Rt△DEF沿CB向左平移,直到点F和点B重合为止．设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2,求当x= 时,y的值是多少?
（2）如图3,当点E移动到AB上时,求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
8、（重庆课改卷）如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上）,当点 于点B重合时,停止平移.在平移过程中, 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
（1）当 平移到如图3所示的位置时,猜想图中的 与 的数量关系,并证明你的猜想；
（2）设平移距离 为 , 与 重叠部分面积为 ,请写出 与 的函数关系式,以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值；使得重叠部分的面积等于原 面积的 ?若不存在,请说明理由.
1. 梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从点A开始,沿AD边,以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始,沿CB边,以3厘米/秒的速度向B点运动.
已知P、Q两点分别从A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.假设运动时间为t秒,问：
（1）t为何值时,四边形PQCD是平行四边形?
（2）在某个时刻,四边形PQCD可能是菱形吗?为什么?
（3）t为何值时,四边形PQCD是直角梯形?
（4）t为何值时,四边形PQCD是等腰梯形?
2. 如右图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动,点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时
出发,当其中一点到达点D时,另一点也随之停止运动,设运动
时间为t(s),t为何值时,四边形APQD也为矩形?

3. 如图,在等腰梯形 中, ∥ , ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 从 开始沿 边向 以每秒3cm的速度移动,点 从 开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时运动停止.设运动时间为t秒.
（1）求证：当t= 时,四边形 是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD?若能,求出当t为何值时PQ平分BD；若不能,请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形,求t的值.
4. 如图所示,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O作直线MN//BC,设MN交 的平分线于点E,交 的外角平分线于F.
（1）求让： ；
（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,且AEBC=62,求 的大小.
5. 如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D’处,求重叠部分⊿AFC的面积.
6. 如图所示,有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动.
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明.
（2）PE是否总过某一定点,并说明理由.
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时,
其面积最小,最大?各是多少?
7. 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合）,EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明.
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,已知AD＝AB＝3,BC＝4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发,沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N．P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由；
(4)探究：t为何值时,△PMC为等腰三角形?
9、（山东青岛课改卷 ）如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合）,已知AC＝8cm,BC＝6cm,∠C＝90°,EG＝4cm,∠EGF＝90°,O 是△EFG斜边上的中点．
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s）,FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时,OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值；若不存在,说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996,1152 ＝13225,1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36,4.52 ＝20.25,4.62 ＝21.16）
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10、已知：如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点
P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移
动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s）,解答下列问题：
（1）当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2）,求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值；不存在,说明理由；