已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小 (II)设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 03:32:06
![已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小 (II)设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范](/uploads/image/z/8634806-62-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2-ax%2Cg%28x%29%3Dlnx%28I%29%E8%AE%BEh%28x%29%3Df%28x%29%2Bg%28x%29%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%9E%81%E5%80%BC%E7%82%B9x1%2Cx2%2C%E4%B8%94x1%E2%88%88%281%2F2%29%2C%E8%AF%95%E6%AF%94%E8%BE%83h%28x1%29-h%28x2%29%E4%B8%8E3%2F4-ln2%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F+%EF%BC%88II%EF%BC%89%E8%AE%BEr%28x%29%3Df%28x%29%2Bg%28%281%2Bax%29%2F2%29%2C%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8Fa%E2%88%88%281%2C2%29%2C%E6%80%BB%E5%AD%98%E5%9C%A8x0%E2%88%88%5B1%2F2%2C1%5D%2C%E4%BD%BF%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Fr%28x0%29%3Ek%281-a%5E2%29%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82k%E7%9A%84%E8%8C%83)
已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小 (II)设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范
已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx
(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小
(II)设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范围
已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小 (II)设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范
2
∵r(x)=f(x)+g((1+ax)/ 2 )
∴r′(x)= a/(1+ax) +2x−a=2ax(x−(a^2−2)/2a ) 1+ax
(a^2−2)/2a =a/2 –1/a≤2/2-1/2=1/2
∴r(x)在[ 1/2 ,+∞)上为增函数
∴r(x0)max=r(1)=1-a+ln[(1+a)/2]
所以1-a+ln[(1+a)/2]>k(1-a^2)
设∅(a)=1-a+ ln[(1+a)/2]+k(a^2-1),a∈(1,2),∅(1)=1
有∅(a)>0在a∈(1,2)恒成立,
∵∅′(x)= [a/(1+a)](2ka-1+2k).
k=0时,∵∅′(x)= −a/(1+a),∴∅(a)在a∈(1,2)递减,此时∅(a)<∅(1)=0不符合;
k<0时,∵∅′(x)= [2ka/(1+a)](a−1/2k +1),∅(a)在a∈(1,2)递减,此时∅(a)<∅(1)=0不符合;
k>0时,∵∅′(a)=[2ka/(1+a)](a−1/2k +1),若 1/2k −1≥1,则∅(a)在区间(1,min{2,1/2k −1})上递减,此时∅(a)<∅(1)=0不符合;
综上得 k>0 且1/2k −1≤1 ,解得k≥1/ 4 ,即实数k的取值范围为[ 1/4,+∞).
第(1)问的x€(?)