费马点的性质是什么?

费马点的性质是什么?
费马点的性质是什么?

费马点的性质是什么?
数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点.它是这样确定的：
如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.
费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线,容易理解,这个路线是唯一的.我们称这一结果为最短路线原理.
当然现在还拓展到研究四边形,五边形,...,N边形的费马点,如果有,在哪里?
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费马点的研究与应用
一、 研究动机
未来21世纪高雄将跟上首都台北的脚步---兴建捷运系统,将海都高雄完全发展成最先进的都会区.高雄捷运跟台北不一样,采地下化建筑,其中红线与橘线基本路网已经规划好,听爸爸说,不管是哪一路线都需建捷运主机厂,主机厂对於捷运相当於心脏对於人类,於是便想：是否能找到一个位置到各捷运站的的距离和为最小,以方便控制?
又从文献上得知在三角形中有一点到三顶点距离和为最小,称为「费马点」,於是即以此为出发点,对费马点的性质来进行一系列的探讨与研究.
二、 研究目的
（一） 以数学方法证明费马点的存在及其特性.
（二） 运用物理学方法探讨费马点之相关理论.
（三） 求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果.
（四） 探讨费马点在生活中的应用实例.
三、 研究设备器材
滑轮、木条、棉线、黏土块、方格纸、量角器.
四、 研究过程
(一) 以数学方法证明费马点的存在及其特性：
Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作 法及证明,我把文献上找到的一一列於附件说明,另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点：
1.费马点之求法（参考图一）.
(1) 做一三内角均小於120°之△ABC.
(2) 以 , 为一边,分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE.
(3) 连接 , 交於P点,则P点即为所求.
2.费马点的性质：L= + + 为最小值.
～首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.（参考图二）旋转△BPC,
使 与 重合（ = ）,
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A,P,H,G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = , =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△,得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
～再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.（参考图三）在ABC内另取一点Q异於P,
连接 、 、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部,那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一点至三顶点距离和最短?（参考图四）
(1) △ABC的∠A＞120°,P为△ABC内部任一点
延长 至B',使 =
做∠B'AP'=∠BAP,取 =
故△B'AP' △BAP,得 = .
於是 + + = + + ,
(2) 但因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°,故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ,即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合,则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点.
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°,则费马点即为该内角的顶点.
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点,但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ!也就是如果改变形状后是否能找到一点P点,使得P点至顶点距离和最小,我们以下就最简单的四边形先做讨论（参考图五）.
(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
发现： 、 之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明：（参考图六）
在四边形ABCD内另取一点P'异於P
连接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任两边和大於第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之
母』,那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ?参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1. 实验一：从三力平衡证明费马点的性质－ 、 、 所夹的三个角必为120°.
(1) 以木条为边组装正三角形,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,另一端连在一起代表P点.
(2) 让重物自然垂下到达静止状态,量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）.
(3) 因为三重物重量相等,三条线的张力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形,亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°.
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.
(5) 重复以上步骤5次,并改变三角形的形状重复操作.
2. 实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性.
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,由实验一已知P点为费马点.
(2) 於P点（费马点）悬挂一黏土块W,让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C）,量测此时P点与水平面之垂直距离,分别作三次后取平均值,高度为hP.
(3) 将P点任意移向三边 、 、 上任意点,然后将重物放开,发现不论在任何边上,均会趋向费马点.根据「物体会自由趋向能量最低点」的原理,可证明费马点具有最低的位能.
(4) 将步骤(3)之实验过程分别纪录得到位能高度h'（三次平均值）、 、 （代表从 点释放后的状况,依此类推）、 、 、 、 （数据说明在表二）.
(5) 重复以上步骤3次,并改变三角形的形状重复操作.
(三)求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果———直角座标常被利用在地图的表示上,是否我们能找出求作直角座标系中的P点（P点为至各顶点距离和最小的一点）再配合电脑程式来验证我们实验结果?
(1) 三角形---
a.为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点,做法乃利用前述（一）的想法
b.以下先就特殊三角形一一做讨论再推广至一般三角形
ㄅ.三角形（参考图七）
=
= =
故P点座标为（ ）
ㄆ.等腰三角形（参考图八）
∵四边形AOBC为鸢形
∴
又∠OPC=120°
因此∠OPD=60°
故 = = =
则P点座标为（ ）
ㄇ.直角三角形（参考图九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A,B,C,D四点座标代入
求 , 之方程式并解联立方程式
： y= x+y1
： y= (x-x1)
得P点座标为
ㄈ.等腰直角三角形
等腰直角三角形为等腰三角形之一种,故P点座标可参考等腰三角形之求法.同理P点座标也可参考直角三角形之求法.
ㄉ.任意三角形（参考图十）
设过P点之函数为y=ax+b
将A,B,C,D四点座标代入
求 , 并解联立方程式
： y=
： y=
得P点座标为
(2) 四边形---
a. 为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点,做法乃利用前述（三）的想法
b. 以下先就特殊四边形一一做讨论再推广至任意四边形
ㄅ.正方形（参考图十一）
∵四边形ABCO为正方形
∴ 平分 且 =
（正方形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄆ.长方形（参考图十二）
∵四边形ABCO为长方形
∴ 平分 且 =
（长方形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄇ.平行四边形（参考图十三）
∵四边形ABCO为平行四边形
∴ 平分 且 =
（平行四边形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄈ.菱形（参考图十四）
∵四边形ABCO为菱形
∴ 平分 且 =
（菱形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
发现：若四边形对角线互相平分,
则其P点为此四边形对角线之中点.
ㄉ.等腰梯形（参考图十五）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
设 为 , 为y-
( )
∴
又∵ABCO为等腰梯形
∴
故P点座标为（ ）
ㄊ.两个内角为直角的梯形（参考图十六）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
设 为 , 为y-
( ) =
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
设 为
∴
故P点座标为（ ）
ㄋ.任意梯形（参考图十七）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
设 为 , 为y-
( )=
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
设 为
∴
故P点座标为（ ）
（以下为方便起见,将两顶点固定於x轴上）
ㄌ.鸢形（参考图十八）
∵ 为对角线
∴P点在x轴上
又四边形ABCO为鸢形
∴ 平分且
故P点座标为（ ）
ㄍ.任意凸四边形（参考图十九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A,B,C,O四点座标代入
求 , 之方程式并解联立方程式
： y=
： y=0
得P点座标为
五、 研究结果
以下配合直角座标及物理实验,依图形形状不同一一分析物理及数学所求的数据,找出其相关性.
（一） 正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意锐角三角形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正三角形：（ ）
2. 等腰三角形：（ ）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（ ）或
5. 任意三角形：
（二） 正方形、长方形、平行四边形、菱形、等腰梯形、两个内角为直角的梯形、任意梯形、鸢形和任意四边形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正方形、长方形、平行四边形、菱形：（ ）
2. 等腰梯形：（ ）
3. 两个内角为直角的梯形：（ ）
4. 任意梯形：（ ）
5. 鸢形：（ ）
6. 任意四边形：
（三） 实验一数据（表一）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠APB 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠BPC 120° 119° 119° 120° 117°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2,1.154701)
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 123° 118° 119° 122° 120°
∠APB 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠BPC 121° 120° 121° 121° 119°
P点座标 测量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
计算值 约(1.5,0.866025)
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠APB 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠BPC 120° 121° 119.5° 118° 120°
P点座标 测量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
计算值 约(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠APB 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠BPC 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
P点座标 测量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
计算值 约(0.633975,0.633975)
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠APB 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠BPC 119° 120.5° 120° 119° 120°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2.257189,1.381958)
结果：测量值和计算值极为接近,即可证明实验所得之P点为费马点,但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差.
（四） 实验二数据（表二）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (2.12,1.31) (1.92,1.31) (1.96,1.30)
(2.08,1.33) (2.15,1.10) (1.95,1.09)
(1.98,2.06) (1.94,1.13) (1.86,1.13)
(2.31,1.13) (2.15,1.17) (1.98,0.97)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.25cm
32.35cm 31.6cm 32.1cm
32.25cm 31.8cm 32.5cm
32.4cm 31.75cm 32.0cm
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (1.54,0.90) (1.56,0.97) (1.72,0.91)
(1.44,0.69) (1.52,0.80) (1.51,0.92)
(1.50,0.66) (1.61,0.74) (1.64,0.68)
(1.46,0.77) (1.48,0.65) (1.43,0.74)
垂直高度 原来高（hP）为35cm
费马点高（h'）为32.3cm
31.9cm 32.1cm 32.0cm
32.1cm 32.2cm 32.15cm
32.2cm 32.3cm 32.25cm
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (0.84,0.74) (0.86,0.64) (0.74,0.69)
(0.96,0.68) (1.00,0.62) (1.06,0.67)
(0.84,0.68) (0.79,0.85) (0.84,0.80)
(0.78,0.54) (0.73,0.74) (0.86,0.79)
垂直高度 原来高（hP）为35.2cm
费马点高（h'）为32.4cm
32.2cm 32.25cm 32.3cm
32.4cm 32.6cm 32.55cm
32.15cm 32.5cm 32.4cm
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (0.64,0.61) (0.66,0.53) (0.62,0.66)
(1.12,0.59) (1.06,0.54) (0.95,0.58)
(0.75,0.74) (0.87,0.68) (0.84,0.88)
(0.76,0.66) (0.92,0.57) (0.78,0.82)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.5cm
32.4cm 32.2cm 32.5cm
32.4cm 32.6cm 32.45cm
32.65cm 32.5cm 32.6cm
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (2.20,1.49) (2.42,1.37) (2.11,1.63)
(2.55,1.57) (2.65,1.40) (2.46,1.27)
(2.26,1.43) (2.47,1.41) (2.44,1.29)
(2.55,1.40) (2.49,1.48) (2.46,1.23)
垂直高度 原来高（hP）为35.5cm
费马点高（h'）为31.5cm
31.5cm 31.35cm 31.65cm
31.3cm 31.6cm 31.5cm
31.55cm 31.4cm 31.5cm
结果：本实验所得之P点与费马点计算值之间存有误差,此乃由於实验中会受到摩擦力等因素的影响.
六、 讨论与应用
（一） 有一角大於或等於120°的三角形中,无法利用作正三角形的作图法求出费马点的位置,因为利用其作图法求出来之P点,会落在三角形之外,不符合P点至三顶点之连线所成的三个角皆等於120°度,且根据证明,费马点和大於或等於120°该角之顶点为同一点.故在此有一角大於120°或等於的三角形不予以讨论.
（二） 虽然凹四边形之对角线交点在外部,但其对角线和P点性质与凸四边形相同,且做法和座标也相同,因此省略不重复列出.
（三） 我们从实验二发现了一项费马点在物理学上的性质：「费马点为三角形中能量最低点」.因为在操作实验二时,无论将P点移至何位置,释放后总是会向原P点位置移动,即可证明原P点为三角形能量最小值之位置.
（四） 实验所得之测量值和计算值极为接近,即可证明实验所得之P点为费马点,但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差.
（五） 费马点在日常生活中也被广泛应用,只要是存在於三点之间,求一点距离和为最小值的情况,都可运用到费马点的性质.例如在三城市中建立一变电所,要如何架设高压电塔以减少电能的浪费,或是三户人家之间挖掘一口井等,皆是费马点运用的例子.
（六） 未来预期利用其它物理学及化学方法等尝试证明初费马点的性质,方法如下：
1. 尝试运用电学方法证明费马点：
在电学中,电阻的大小与电线导体的长度成正比,如果以费马点到三角形三顶点的距离,分别以此量取三段长度的电阻线,并联后的电阻,是否比非费马点的并联电阻为小,试图找出三线并联后的电阻与费马点的关系.
(1) 取一导线和一电阻线串联,再将上述之装置三条并联交於同一电源装置.
(2) 以上述装置的导线与电阻线之交点为三角形的顶点,用木条组装成正三角形.
(3) 将三条电阻线之末端交於三角形内之P点,再与一安培计串联回到电源装置形成通路.
(4) 开启电源,移动P点的位置,找出P点位於何处时电流值最大后将将实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.
(5) 改变三角形的形状并重复操作.
2. 尝试从理论化学观点探讨费马点的性质：
在理论化学的发展上,已经可以以电脑程式模拟小型化学分子的结构状态,并据以求得最稳定存在（能量最小）的分子排列,对一些三角形分子而言（如环乙烯、环乙醚,环乙胺,这些分子和外界原子的排列,在自然状态下,势必要保持最小能量的稳定态,而这些原子间的相关位置,是否和三角形分子构形中的费马点有关,我想藉由一些较简单的化学分子计算软体（MM2,MOPAC）,试著找出其中的奥秘.
七、 结论
有关费马点的证明相当多,此次除了找到其数学上一些相关的结果,也利用实验及直角座标探讨费马点在物理上的意义,再一次充分验证了『数学』真为『科学之母』!
（一） 费马点在数学上有「三夹角皆为120°」及「到三顶点之和为最小值」两种性质,除此之外,在物理学上也有「费马点为三角形中能量最低点」的性质.
（二） 顶角小於120°的等腰三角形,费马点必在底边之高上,且底边长度相同时,费马点为同一点.而四边形之「费马点」即为对角线之交点.
（三） 根据理论推出,费马点至三顶点连成之线段所夹的三个角皆为120°,恰和三力平衡时三力夹角皆为120°的特性相同,因此可用物理学上三力平衡的实验找出费马点之位置.
八、 参考资料及其它
（一） 参考书目
1. 酒井高男著,（1992）力学的趣味实验,亚东书局出版
2. 张景中（1990）,数学家的眼光,九章出版
3. 张奠宙、戴再平（1996）,生活中的中学数学,九章出版
4. 黄家礼（1997）,几何明珠,九章出版
5. 佚名（1984）,数学和数学家的故事（下）,六艺出版
6. 佚名（1991）,数学的魅力,凡异出版
（二） 参考网站
1. 陶建英老师实验室
http://www.sinica.edu.tw/~ibawww/ResearchPC/p5.html
2. The Fermat Point and Generalizations
http://www.cut-the-knot.com/Generalization/fermat-point.html