已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 18:33:27
![已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.](/uploads/image/z/8663099-59-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2Bx%2Alg%28a%2B2%29%2Blgb%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28-1%29%3D-2%2C%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%B8%80%E5%88%87%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%28x%29%E2%89%A52x%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Ab%E7%9A%84%E5%80%BC.)
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
由f(-1)=-2得,1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x,都有 f(x)>=2x,
所以,x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立,即方程x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb=0至多有一个根
因此,△=[lg(a+2)-2]^2-4lgb
由已知,1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x,都有 f(x)>=2x,
所以,x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立,
因此,[lg(a+2)-2]^2-4lgb<=0, (2)
令F(x)=f(x)-2x;则有F(x)>=0恒成立。对F(x)求导,得F(x)=2*x+lg(a+2),知F(x)在某点之前递减,某点之后递增,(有最小值)又F(-1)=-2-2*(-1)=0,且F(x)>=0.知(-1,0)为F(x)最小值点,即F'(-1)=-2+lg(a+2)=0,得a=98;f(-1)=-2;得b=0.1;
先代入f(-1)=-2,可以得到a,b的一个关系式。lg(b/a+2)=-3,即为 :1000b=a+2 ①
再设lgb=t,,那么lg(a+2)=lg(1000b)=3+t②
由于f(x)≥2x,对于任意的实数x都成立,我们看这是一个一元二次方程,可以化简下:
x^2+(3+t)x+t≥2x 为 x^2+(1+t)x+t≥0要使它恒成立,我们知道需要让这个函数的...
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先代入f(-1)=-2,可以得到a,b的一个关系式。lg(b/a+2)=-3,即为 :1000b=a+2 ①
再设lgb=t,,那么lg(a+2)=lg(1000b)=3+t②
由于f(x)≥2x,对于任意的实数x都成立,我们看这是一个一元二次方程,可以化简下:
x^2+(3+t)x+t≥2x 为 x^2+(1+t)x+t≥0要使它恒成立,我们知道需要让这个函数的Δ≤0,这样这个开口向上的函数才不会与X轴有交点。有
Δ=(1+t)^2-4t≤0 即 (t-1)^2≤0但是这个一关于t的函数只可能与X轴有一个交点,要使它恒小于等于0我们只有让它为0才可能。所以t=1也就是 lgb=1 b=10
a+2=1000*b=10000 a=9998
a*b=99980
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