作业帮f(x)=2-sinx/2+cosx的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 16:21:52
f(x)=2-sinx/2+cosx的值域
f(x)=2-sinx/2+cosx的值域
f(x)=2-sinx/2+cosx的值域
可以使用几何意义,但不好输入
用代数法吧
y=(2-sinx)/(2+cosx)
2y+ycosx=2-sinx
sinx+ycosx=2-2y
√（1+y²）sin(x+∅)=2-2y
sin(x+∅)=(2-2y)√（1+y²）
所以 |2-2y|≤√（1+y²）
两边平方 4y²-8y+4≤1+y²
3y²-8y+3≤0
(3y-1)(y-3)≤0
1/3≤y≤3
值域【1/3,3】
f(x)=[2(sinx/2)^2+2(cosx/2)^2-2sinx/2cosx/2]/[(sinx/2)^2+3(cosx/2)^2]
=[2(tanx/2)^2+2-2tanx/2]/[(tanx/2)^2+3]
令tanx/2=a
f(x)=(2a^2+6-2a-4)/(a^2+3)
=2-2(a+2)/(a^2+3)
=2-2(a+2)/[(a+2...
全部展开
f(x)=[2(sinx/2)^2+2(cosx/2)^2-2sinx/2cosx/2]/[(sinx/2)^2+3(cosx/2)^2]
=[2(tanx/2)^2+2-2tanx/2]/[(tanx/2)^2+3]
令tanx/2=a
f(x)=(2a^2+6-2a-4)/(a^2+3)
=2-2(a+2)/(a^2+3)
=2-2(a+2)/[(a+2)^2-4(a+2)+7]
=2-2/[(a+2)+7/(a+2)-4]
因为(a+2)+7/(a+2)>=2根号7 <=-2根号7
所以f(x)>=2-1/(根号7-2)=2-(根号7+2)/3=(4-根号7)/3
或f(x)<=2+1/(根号7+2)=2+(根号7-2)/3=(4+根号7)/3
所以值域为[(4-根号7)/3,(4+根号7)/3]
收起