作业帮高三数学__导数的应用 求函数最值横梁的强度和它的矩形端面的宽度成正比,并和高的平方成正比,要将直径为d的原木锯成强度最大的横梁,问端面的高和宽应是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/07 11:10:07
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高三数学__导数的应用 求函数最值横梁的强度和它的矩形端面的宽度成正比,并和高的平方成正比,要将直径为d的原木锯成强度最大的横梁,问端面的高和宽应是多少?
高三数学__导数的应用 求函数最值
横梁的强度和它的矩形端面的宽度成正比,并和高的平方成正比,要将直径为d的原木锯成强度最大的横梁,问端面的高和宽应是多少?
高三数学__导数的应用 求函数最值横梁的强度和它的矩形端面的宽度成正比,并和高的平方成正比,要将直径为d的原木锯成强度最大的横梁,问端面的高和宽应是多少?
建直角坐标系,以原点为中心,d为半径做圆来表示原木的截面图
设该所求的栋梁的截面ABCD中任一点A（由于是对称的,就令A为第一象限点即可）坐标为(cos角A,sin角A),其中角A为OA与x轴成的角
横梁的强度和它的矩形端面的宽度成正比,并和高的平方成正比,则设系数为k,即强度=k*矩形端面的宽度*高的平方
矩形端面的宽度=2cosA*d,高=2sinA*d,所以强度=k*(2cosA*d)*(2sinA*d)^2=8kd^3cosA*(sinA)^2＝8kd^3cosA*[1-(cosA)^2]=8kd^3[cosA-(cosA)^3]
度公式求导时由于8kd^3是常数,可以先忽略,得出导数为3sinA*(cosA)^2-sinA,当导数为0时,由于A不可能为0,所以3(cosA)^2=1
(cosA)^2=1/3
以此求出的cosA与sinA再求出高和宽即可
PS：此题也可设（x,y)做,但比较麻烦,因为有根号求导,不如这个方便,同时sinA导数为cosA,cosA导数为-sinA
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