如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE,△ACF是等边三角形(1)试说明△ABD相似于△CAD(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.【第一问可以不证,第二问请一定写出有条理的过程,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 17:29:09
![如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE,△ACF是等边三角形(1)试说明△ABD相似于△CAD(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.【第一问可以不证,第二问请一定写出有条理的过程,](/uploads/image/z/8749798-70-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8Rt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CAD%E6%98%AF%E6%96%9C%E8%BE%B9BC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%2C%E2%96%B3ABE%2C%E2%96%B3ACF%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%95%E8%AF%B4%E6%98%8E%E2%96%B3ABD%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E4%BA%8E%E2%96%B3CAD%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%BF%9E%E6%8E%A5DE%E3%80%81DF%E3%80%81EF%2C%E5%88%A4%E6%96%AD%E2%96%B3DEF%E7%9A%84%E5%BD%A2%E7%8A%B6%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.%E3%80%90%E7%AC%AC%E4%B8%80%E9%97%AE%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%B8%8D%E8%AF%81%2C%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E9%97%AE%E8%AF%B7%E4%B8%80%E5%AE%9A%E5%86%99%E5%87%BA%E6%9C%89%E6%9D%A1%E7%90%86%E7%9A%84%E8%BF%87%E7%A8%8B%2C)
如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE,△ACF是等边三角形(1)试说明△ABD相似于△CAD(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.【第一问可以不证,第二问请一定写出有条理的过程,
如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE,△ACF是等边三角形
(1)试说明△ABD相似于△CAD
(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.
【第一问可以不证,第二问请一定写出有条理的过程,
如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,△ABE,△ACF是等边三角形(1)试说明△ABD相似于△CAD(2)连接DE、DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由.【第一问可以不证,第二问请一定写出有条理的过程,
直角三角形,第一问想来你会证明,既然两个三角形相似,则AD/BD=AC/AB,由于ACF为等边三角形,则AC=AF,同理,AB=BE,即AD/BD=FA/EB,即可证三角形ADF相似于三角形BDE,则角BDE=角ADF,由于AD垂直于BC,即可证角EDF=角FDA+角ADE=角BDE+角ADE=角ADB=90度,即证三角形DEF为直角三角形.
∵△AEF中,∠EAF=150°
∴EF^2=AE^2+AF^2-2*AE*AF*Cos150°
=AB^2+AC^2+√3*AB*AC ――---―(1)
∵△BDE中,∠EBD=60°+∠B,BD=AB*Cos∠B
∴DE^2=BE^2+BD^2-2*BE*BD*Cos(60°+∠B)
=AB^2+BD^2-AB...
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∵△AEF中,∠EAF=150°
∴EF^2=AE^2+AF^2-2*AE*AF*Cos150°
=AB^2+AC^2+√3*AB*AC ――---―(1)
∵△BDE中,∠EBD=60°+∠B,BD=AB*Cos∠B
∴DE^2=BE^2+BD^2-2*BE*BD*Cos(60°+∠B)
=AB^2+BD^2-AB*BD*Cos∠B+√3AB*BD*Sin∠B
=AB^2+√3AB^2*Cos∠B*Sin∠B
=AB^2+√3AB^2*(BD/AB)*(AD/AB)
=AB^2+√3*BD*AD ――――――-----―(2)
∵△CDF中,∠FCD=60°+∠C,CD=AC*Cos∠C
∴DF^2=CF^2+CD^2-2*CF*CD*Cos(60°+∠C)
=AC^2+CD^2-AC*CD*Cos∠C+√3AC*CD*Sin∠C
=AC^2+√3*CD*AD ――――――------―(3)
(2)+(3)
DE^2+DF^2=AB^2+√3*BD*AD+AC^2+√3*CD*AD
=AB^2+AC^2+√3*(BD+CD)*AD
=AB^2+AC^2+√3*BC*AD
=AB^2+AC^2+√3*AB*AC ―――(4)
其中:BC*AD=AB*AC
(4)代入(1)
EF^2=DE^2+DF^2
答:△DEF是直角三角形。
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