作业帮正方形ABCD边长为1,点P在线段AC上运动.则向量AP（向量PB+向量PD）的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 05:10:49
正方形ABCD边长为1,点P在线段AC上运动.则向量AP（向量PB+向量PD）的最大值
正方形ABCD边长为1,点P在线段AC上运动.则向量AP（向量PB+向量PD）的最大值
正方形ABCD边长为1,点P在线段AC上运动.则向量AP（向量PB+向量PD）的最大值
建立平面直角坐标系
以A为点,点B在X轴上,点D在Y轴上,
令,点P坐标为(m,m),(0
向量AP=(OP-OA)=(m,m),
向量PB=(OB-OP)=(1-m,0-m),
向量PD=(OD-OP)=(0-m,1-m).
向量(PB+PD)=(1-2m,1-2m).
向量AP*向量(PB+PD)=m*(1-2m)+m*(1-2m)
=2(m-2m^2)
=-4(m^2-1/2)
=-4(m-1/2)^2+1.
要使向量AP*向量(PB+PD)有最大值,则(m-1/2)=0,m=1/2.
向量AP*向量(PB+PD)最大值=1.
以B→C为x轴正方向，B→A为y轴正方向建立直角坐标系。
设正方形ABCD边长为a(√5
|BP|^2=x^2+y^2=4 ①
|AP|^2=x^2+(y-a)^2=1，即2ay-a^2=3 ②
|CP|^2=(x-a)^2+y^2=9，即-2ax+a^2=5 ③<...
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以B→C为x轴正方向，B→A为y轴正方向建立直角坐标系。
设正方形ABCD边长为a(√5
|BP|^2=x^2+y^2=4 ①
|AP|^2=x^2+(y-a)^2=1，即2ay-a^2=3 ②
|CP|^2=(x-a)^2+y^2=9，即-2ax+a^2=5 ③
②+③: 2a(y-x)=8，即y-x=4/a ④
②-③: 2a(x+y)-2(a^2)=-2，即x+y=(a^2-1)/a ⑤
④^2+⑤^2=2(x^2+y^2)=(16/a^2)+[(a^2-1)^2]/(a^2)=8
令s=a^2，则s为正方形的面积，上式化简为：
16+(s-1)^2=8s
解得：s=5+2√2(舍去5-2√2)
注：正方形ABCD边长为a的取值范围比较麻烦，需要过P作AB、BC的垂线PE、PF，然后设|PF|=t并通过勾股定理慢慢算得，中间可得√5
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