已知抛物线顶点抛物线顶点在坐标原点抛物线焦点与椭圆x²/16+y²/15=1的左焦点相同抛物线上求一点P到椭圆左顶点距离最小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:35:39
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已知抛物线顶点抛物线顶点在坐标原点抛物线焦点与椭圆x²/16+y²/15=1的左焦点相同抛物线上求一点P到椭圆左顶点距离最小
已知抛物线顶点
抛物线顶点在坐标原点抛物线焦点与椭圆x²/16+y²/15=1的左焦点相同抛物线上求一点P到椭圆左顶点距离最小
已知抛物线顶点抛物线顶点在坐标原点抛物线焦点与椭圆x²/16+y²/15=1的左焦点相同抛物线上求一点P到椭圆左顶点距离最小
(1)设抛物线的解析式为y=kx2+a
∵点D(2a,2a)在抛物线上,
4a2k+a = 2a ∴k =
∴抛物线的解析式为y= x2+a
(2)设抛物线上一点P(x,y),过P作PH⊥x轴,PG⊥y轴,在Rt△GDP中,
由勾股定理得:PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2
∵y= x2+a ∴x2 = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a2 (6分)
∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2
∴PD = PH
(3)过B点BE ⊥ x轴,AF⊥x轴.
由(2)的结论:BE=DB AF=DA
∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO
∴B是OA的中点,
∴C是OD的中点,
连结BC
∴BC= = = BE = DB
过B作BR⊥y轴,
∵BR⊥CD ∴CR=DR,OR= a + = ,
∴B点的纵坐标是,又点B在抛物线上,
∴ = x2+a ∴x2 =2a2
∵x>0 ∴x = a
∴B (a, )
AO = 2OB, ∴S△ABD=S△OBD = 4
所以,´2a´a= 4
∴a2= 4 ∵a>0 ∴a = 2