如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.(Ⅰ) 求证:PB∥面EFG;(Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 05:02:33
![如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.(Ⅰ) 求证:PB∥面EFG;(Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;](/uploads/image/z/8906573-29-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2CABCD%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CPA%3DAD%3D2%2CE%E3%80%81F%E3%80%81G%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5PA%E3%80%81PD%E3%80%81CD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%28%E2%85%A0%29+%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APB%E2%88%A5%E9%9D%A2EFG%EF%BC%9B%EF%BC%88%E2%85%A1%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%BC%82%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E7%BA%BFEG%E4%B8%8EBD%E6%89%80%E6%88%90%E7%9A%84%E8%A7%92%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC%EF%BC%9B)
如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.(Ⅰ) 求证:PB∥面EFG;(Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;
如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
(Ⅰ) 求证:PB∥面EFG;
(Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;
如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.(Ⅰ) 求证:PB∥面EFG;(Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;
证明:
(Ⅰ)
取AB的中点H,连接HG,EH
∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点
∴EF∥AD∥HG
∴E、F、G、H四点共面
又H是AB的中点
∴EH∥PB
又EH〔面EFG,PB¢面EFG
∴PB∥面EFG
(Ⅱ)
建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)
P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)
∴向量EG=(1,2,-1),向量BD=(-2,2,0)
∴cos<向量EG,向量BD>=(向量EG•向量BD)/(|EG|•|BD|)=(-2+4)/(√6•2√2)=√3/6
(1)证明:AB中点M,连接MG.ME
FE//AD//GM,
中位线,EM//PB. 又EM属于面FEMG,故PB//面EFG
(2)BC中点N,连接EN.GN
GN//BD.所以异面直线EG与BD所成的角即为∠EGN。△EGN为等腰三角形
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(1)证明:AB中点M,连接MG.ME
FE//AD//GM,
中位线,EM//PB. 又EM属于面FEMG,故PB//面EFG
(2)BC中点N,连接EN.GN
GN//BD.所以异面直线EG与BD所成的角即为∠EGN。△EGN为等腰三角形
易得各边长,GN=根2,EG=EN=根6
所以cos∠EGN=GN/2EG=根3/6
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