求教数分：关于定积分题如图示,解答已给出,但不是很明白：倒数第三个等号,为什么等价无穷小,它们的和的极限就相同.能否给个思路或者参考书目,1,[a,b]内Rimann可积就一定有界吗?如f（x）=pi

求教数分：关于定积分题如图示,解答已给出,但不是很明白：倒数第三个等号,为什么等价无穷小,它们的和的极限就相同.能否给个思路或者参考书目,1,[a,b]内Rimann可积就一定有界吗?如f（x）=pi
求教数分：关于定积分
题如图示,解答已给出,但不是很明白：倒数第三个等号,为什么等价无穷小,它们的和的极限就相同.能否给个思路或者参考书目,
1,[a,b]内Rimann可积就一定有界吗?如
f（x）=piecewise（0

求教数分：关于定积分题如图示,解答已给出,但不是很明白：倒数第三个等号,为什么等价无穷小,它们的和的极限就相同.能否给个思路或者参考书目,1,[a,b]内Rimann可积就一定有界吗?如f（x）=pi
应该说这个解答有很大的逻辑跳跃,如果在数学分析课程中学生这样答题我会认为是蒙混过关.毕竟这里是n项求和,即使每项都能安全地做等价无穷小替换求和之后也未必安全.
如果要弥补这个逻辑跳跃,可以利用中值定理
ln(1+x)=x-x^2/[2(1+θx)^2],其中0

我费好大劲写的，请一定要好好读一下，我觉得你既能提出这样的问题，应该能看懂。
先回答你补充的第一个问题：Rimann可积就一定有界，这个是没问题的，你翻开书看一下定积分的定义就知道了，定积分首先要求函数必须有界。你举的那个例子，函数并不是可积的，那个不是定积分，而是瑕积分（也叫反常积分、广义积分），瑕积分是与定积分完全不同的另一个概念，只不过它们形式和计算方法类似而己。
另一个问题...

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我费好大劲写的，请一定要好好读一下，我觉得你既能提出这样的问题，应该能看懂。
先回答你补充的第一个问题：Rimann可积就一定有界，这个是没问题的，你翻开书看一下定积分的定义就知道了，定积分首先要求函数必须有界。你举的那个例子，函数并不是可积的，那个不是定积分，而是瑕积分（也叫反常积分、广义积分），瑕积分是与定积分完全不同的另一个概念，只不过它们形式和计算方法类似而己。
另一个问题就是关于等价无穷小的代换，那么你首先要明白等价无穷小代换的原理，先抛开你的问题，我给你讲一下等价无穷小代换的原理：
希望通过下面这个简单的例子你能明白，x趋于0，求(2x+3x^3)/(x+5x^2)的极限，一个超级简单的题结果为2，但你注意到没有，这个题中分子的那个三次方与分母的二次方完全是打酱油的，它们的系数无论取多少都不会影响本题的结果，我们完全可以把它们去掉。这就说明，当x趋于0时，在求极限时，其实是次数最低的项在起决定性作用，高次项有或没有是一样的，完全可以扔掉（这就与x趋于无穷时，最高次方起决定性作用，低次方全可以扔掉，道理一样）。
我们都知道sinx的等价无穷小是x，为什么呢，其实就因为sinx的Taylor展式中第一项就是x，也就是次数最低的项，所以它在求极限时是起决定性作用的。同样的，tanx、ln(1+x)、arcsinx等它们的Taylor展式中的第一项也都是x，所以我们扔掉高次项，只留下x就可以求极限了，这就是等价无穷小代换的原理。
下面讨论另一个问题，老师一定给你讲过，加减法时不要用等价无穷小代换，比如(x-sinx)/x^3这个极限题，当x趋于0时，分子的sinx是不能用x代换的，你能不能想到为什么？原因就是当你把sinx换成x后，这个x正好被前面那个x减没了，也就是说分子其实是没有一次方的，那么说明分子的最低次幂已经不是一次方，而是sinx的Taylor展式的下一项（应该是三次方），这样分子中起次定性作用的其实是三次方，而不是一次方，所以用x代替sinx是不对的，因为你把一个起决定性作用的项给扔了。这时你是不是能够想到，如果分子的sinx不换成x，而是换成Taylor展式的前两项x-1/6x^3，来代替，这道题其实就做对了。
如果你能把上面我写的看明白，也就不难明白你说的这个题了，总之一句话，等价无穷小代换并不是说在加减法中一定不能用，关键看用的时候是否会使得最低项被消去，如果最低项被消去了，则必须把下一项也保留，否则就错了，而最低项如果没消去，其实等价无穷小代换就是正确的，因为这一项是起决定性作用的。
你给的问题中虽然是在加减法中用的等价无穷小代换，但显然代换后最低次方项没有被消去，这种情况下，等价无穷小代换是正确的。
当然如果你认为这个不好掌握，你可以只记住乘除法能用等价无穷小代换，加减法不要用。其实加减法中有时是可以用等价无穷小代换的。

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