高中数学三角函数关于诱导公式方面的例题,越多越好,

高中数学三角函数关于诱导公式方面的例题,越多越好,
高中数学三角函数关于诱导公式方面的例题,越多越好,

高中数学三角函数关于诱导公式方面的例题,越多越好,
（一）高考试题统计分析
1、高考试卷中三角函数试题统计表
试卷 题次 题型 分值 考查内容
全国卷（一） （5） 选择题 5分 正切函数的单调性
（6） 选择题 5分 等比数列、余弦定理
（16） 填空题 4分 导数、三角函数的奇偶性、三角变换
（17） 解答题 12分 三角函数化简,三角函数的周期性与最值
全国卷（二） （2） 选择题 5分 倍角公式、三角函数的周期性
（10） 选择题 5分 诱导公式、三角函数表达式
（14） 填空题 4分 等差数列、余弦定理
（17） 解答题 12分 向量与三角综合题
表一：2006年全国卷、北京卷、上海卷横向统计
试卷 题次 题型 分值 考查内容
北京卷 （12） 填空题 5分 正弦定理、余弦定理
（15） 解答题 12分 三角函数的定义域、三角函数的化简、求值
上海卷 （6） 选择题 4分 三角函数的求值,
（17） 解答题 12分 三角变换、三角函数的值域和最小正周期
（18） 解答题 12分 利用正弦定理、余弦定理解决与测量有关的实际问题
表二：近三年广东卷纵向统计
年份 题次 题型 分值 考查内容
2004年 （5） 选择题 5分 三角变换、三角函数的周期性、奇偶性
（9） 选择题 5分 同角的三角函数的关系式、二次型三角函数的最值
（11） 选择题 5分 正切函数的图象与单调性
（17） 解答题 12分 等差中项、等比中项、倍角公式、关于三角函数的一元二次方程
2005年 （13） 填空题 5分 二项式定理、三角函数值
（15） 解答题 12分 三角函数的化简、求函数 的值域和最小正周期
2006年 （3） 选择题 5分 函数的奇偶性、单调性
（15） 解答题 14分 三角函数的最值、周期、三角函数值
2、高考试卷中三角函数试题统计分析
纵观广东近三年试题和2006年高考全国卷和有关省市自主命题卷,关于三角函数的命题有如下几个显著特点：
（1）考查的题型与分值：三角函数的试题一般是二个小题和一个解答题,属常规的题型,三角函数解答题,大都处在解答题第1题的位置,三角部分的分值平均在22分左右,约占15％；
（2）考查的难易程度：三角函数的解答题一般都为基础题,中档题,试题难度不大,且易出现课本中习题与例题的变形与组合；
（3）考查的热点：其一是三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换；其二是通过三角恒等变换进行化简求值；其三是与向量、数列、二次函数等的综合问题；其四是利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何有关的实际问题.
（二）三角函数部分高考命题趋势
1、三角函数的命题趋于稳定.依然会保持原有的考试风格,尽管命题的背景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题.
2、实施新课标后,三角的题量、分值会略有下降.这倒不是说三角函数失去原有的地位和重要性,而是新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容,它们会吸引命题者关注的目光.比如,上一轮的改革中,引进了导数、极限、向量和线性规划的内容,这些内容在2004年都有了充分的体现,因为包含这些知识点的试题分数加起来竟达40分之多.实际上,广东近两年的三角试题已经减少到了一道小题和一道解答题,2006年的第（3）小题还说不上是严格意义上的三角题,预计2007年会保持不变.
3、三角函数的图象和性质是考查的重点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具,而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度,从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点,是三角解答题的主要题型,具有一定的灵活性和综合性.
4、三角函数的化简求值是常考题型.它往往出现在小题中,或者是作为解答题中的一小问,其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.
5、 考应用,建立三角模型
新教材中增设了三角函数模型的简单应用,且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例（在原来的教材中只是阅读材料）,教材中有几处涉及到三角在物理学科中应用,如用函数 的物理意义刻画简谐振动、交流电等,说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.显示重视三角应用的意图.
融入三角形之中的实际问题也常出现.这种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐,如2003年全国卷中的台风侵袭问题,2006年上海卷中的渔船救援问题等.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获解.
6、 考综合,体现三角的工具性
由于近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇点设计题.对三角知识的考查常常与平面向量、数列、立体几何、解析几何等综合在一起,突出三角的工具性.特别是平面向量与三角的综合题出现的概率很大,因为新教材在内容的设置上非常关注如何利用向量处理三角问题,从近两年的各省市高考试题中也可明显地看到这一端倪,应引起老师们的高度重视.
三、立足教材,强化基础训练
我们老家流传着一句俗话：“课本不到位,复习活见鬼；大纲弄不对,考试见活鬼”.
因为高考三角试题的生长点多出现在课本上,因而,三角函数的复习要坚持源于课本,高于课本.那么怎样才能做到这一点呢?
首先,我们老师要注意回归于教材.教材在第一轮复习中的重要性是不言而喻的,但要做到经常重温教材却并非易事,因为老师们手头有了配套的复习资料,往往把教材抛掷一边,有的甚至可能没有教材.我们不妨这样设想一下；如果我是一个命题人,我会怎么做?我当然会左手一只“鸡”（考纲）,右手一只“鸭”（教材）.特别是现在新教材发生了很大的变化,我们更有必要去钻研教材了.
其次是教育学生注重教材.我想：无论我们怎样在学生面前强调教材的重要性都不为过.虽说是第一轮复习,但我们不可能去把教材重讲一遍,而学生又疲于做复习资料,无暇去观顾教材,这样会造成教材与资料失衡的现象.况且有很多学生“眼高手低”根本没有耐心去认真地阅读教材,那么我们怎么办?我们不得不采取一定的措施,比如我们可以原封不动地从教材中提炼出一份试题,让学生考一考,杀一杀他们的锐气；也可以在学案中有意识地渗透教材中比较典型的例题和习题,等等.
第三是充分发挥教材中典型例题和习题的作用.在集体备课中,负责每一章节备课的教师如果能从教材中挑选出比较典型的例题、习题,并能让学生以课外作业的形式把它们做一遍的话,那一定会收效非浅.当然,我们这一届的课本由于是第一次出版的实验教科书,因此难免会有一些不完善的地方,我把这一届的教材和下一届的教材作了一个对比,发现也作了一些微调,习题中删去了一些稍显杂、难、偏的题目,如：必修4 第三章三角恒等变换P161（A组）3、P162（B组）5,必修5第一章解三角形P11（B组）1、P23（A组）9、P29（B组）1等.
相对而言,在三角部分的高考中更有可能出现课本中习题和例题的变式题,组合题.这启示我们,在复习时应注意两个方面：一是“立足课本,着眼提高”,二是加强对常规题型的归纳与掌握,只有这样才能确保这部分试题在高考中成为主要得分题.
四、关注考纲和考试重点,提高复习效率
（一）紧扣大纲,把握高考命脉
《考试大纲》是数学高考试题的主要命题依据,是高中数学教学的纲领性和指导性文件,因此我们在复习时要认真研读考纲,准确把握复习的方向.
由于课时较紧（特别是理科）,复习中应遵循大纲所规定的内容和要求,不要随意补充已被删简的知识点.例如,三角函数只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲 , 两个.
三角函数部分,不要求引入难度过高,计算过繁,技巧性过强的题目,重点应放在对知识理解的准确性、熟练性和灵活性上,复习时以中低档题目为主.
（二）切实掌握三角函数的概念、图象和性质
在三角函数的教学中,应发挥单位圆和三角函数线的作用.单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象和基本性质.复习时要求学生能利用单位圆中的三角函数线推导诱导公式,能画出 、 的图像,了解参数 对函数图像变换的影响.三角函数的性质包括值域、周期性、奇偶性、单调性和最值,其中以单调性、最大和最小值最为突出.
既然近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象和性质的考查,因此三角函数的图象和性质是本章复习的一个重点,三角的复习应充分利用数形结合的思想方法,即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质,同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象,揭示图形的代数本质.
（三）切实掌握三角函数的基本变换思想
三角函数的恒等变形,不仅在三角函数的化简、求值问题中必考,而且在研究三角函数的图象与性质时、在解三角形中不可回避.解决三角函数的恒等变形问题,其关键在掌握基本变换思想,运用三角恒等变形的主要途径—变角,变函数,变结构,注意公式的灵活应用.
基本变换思想主要是：1、化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式 ；2、化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构,再用配方法求解；3、“合二为一”： 对于形如 的式子,引入辅助角 并化成 的形式（注在这里不要增加难度,仅限于特殊值、特殊角即可）；4、利用正弦定理和余弦定理及面积公式进行边与角的转换.
三角公式是三角变换的基本依据.在三角恒等变换的复习中,可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角恒等变换的基本训练.通过对这些公式的探求,以及利用这些公式进行三角变换,使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径,帮助学生进一步提高推理能力和运算能力.
（四）切实加强三角函数的应用意识
三角函数是一类基本的、重要的函数,在数学、其他科学以及生产实践中有广泛的应用.新教材安排解三角形的应用举例和实习作业,涉及到测量与航海等实际问题,还增设了三角函数模型的简单应用,其立意昭然若揭：突出三角函数的应用.近几年高考中以三角函数为背景的应用试题已形成了一个亮点.
在复习三角函数时重视学科之间的联系.可联系物理、生物、自然界中的周期现象（如单摆运动、波的传播、交流电）,通过具体实例让学生体会三角函数是刻画周期现象的重要模型.
解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导学生认识它们是解决测量和几何计算有关的实际问题一种方法,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练.
（五）切实提高三角函数的综合能力
三角函数具有较强的渗透力,它可和其它的数学知识综合起来,特别是与向量、几何联系密切.注意三角与几何的综合试题,在几何中引入角度作为自变量建立函数模型或解几模型可化难为易,使问题获得简捷的解决（参见教材必修四P156例4）；注意三角与向量的综合试题,平面向量有着极其丰富的实际背景,它是沟通代数、几何、与三角函数的一种工具,因此,我们应通过整合,将三角函数,平面向量,解斜三角形形成一个知识板块来复习,并进行三角与向量相融合的综合训练.
五、考点例析,为学生提供示范性的解题指导
【考点1】三角函数的图象
三角函数图象是支撑三角函数知识体系的框架,也是学生学好三角函数的有力杆杠.
【真题1】（05天津）函数 的部分图像如图所示,则函数表达式为

（A） （B）
（C） （D）
【解析】解法1：由函数图象可知,函数过点 ,振幅 ,
周期 ,频率 ,将函数 向右平移6个单位,得到
.选A
解法2：可将点的坐标分别代入进行筛选得到.选A.
【点评】1、本题考查正弦曲线的图象变换,图与形的等价转换能力.
2、一般地,如果由图象来求正弦曲线 的解析式时,其参数 、 、 的确定：由图象的最高点或最低点求振幅 ,由周期或半个周期（相邻最值点的横坐标间的距离）确定 ,考虑到 的唯一性,在确定 、 的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式,在给定的区间内求出 的值.
【考点2】三角函数的性质
如果说三角函数的图象是三角函数的骨胳,那么三角函数的性质就是三角函数的血肉.因而高考对三角函数的性质的考查一直是经久不衰.
三角函数的单调性和周期性
【真题2】（06年福建）已知函数
（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到?
【解析】（I）
的最小正周期
由题意得 即
的单调增区间为
（II）方法一：先把 图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 的图象.
方法二：把 图象上所有的点按向量 平移,就得到 的图象.
【点评】本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质和图象的变换,以及推理和运算能力.
三角函数的最值
【真题3】（04全国）求 的最小正周期、最大值和最小值.
【解析】 , 所以
【点评】1、灵活应用y=sinx,y=cosx的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题.
2、一般求三角函数的性质问题,如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可运用三角公式把所求函数变为 的形式,再根据已知条件及其性质求解.这类题在高考中自由几乎每年都考查.
【考点3】三角函数的求值
【真题4】（05天津）已知 ,求 及 ．
【解析】解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得
,即 ①
由题设条件,应用二倍角余弦公式得

故 ②,由①和②式得 , 因此, ,由两角和的正切公式

解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得 ,解得 ,即
由 可得 由于 ,且 ,故在第二象限 于是 ,从而 以下同解法一
【点评】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系（均含 ）进行转换得到.
2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形.
【考点4】解三角形
【真题5】（05湖北）在△ABC中,已知 边上的中线BD= ,求sinA的值.
【解析】解法1：设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE•EDcosBED,


【点评】1、本小题主要考查正弦定理、余弦定理基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
2、在解有关三角形的问题中,锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具,注意三角形面积公式 , 的用处和三角形内角和 的制约.
【考点5】三角函数的综合问题
三角函数是一种重要的初等函数,由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系,成为研究其他各部分知识的重要工具,成为高考考查双基的重要内容之一.
三角与向量
【真题6】（06四川）已知 是三角形 三内角,向量 ,且
（Ⅰ）求角 ；（Ⅱ）若 ,求
【解析】（Ⅰ）∵ ∴ , 即 , , ∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由题知 ,整理得
∴ ∴ ∴ 或 ,而 使 ,舍去 ∴ ,∴
【点评】本题将向量的数量积的坐标运算融入三角函数中,主要考察利用三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式、诱导公式和解方程求三角函数值.
三角与数列
【真题7】（06陕西）"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】若等式sin(α+γ)=sin2β成立,则α+γ=kπ+(－1)k•2β,此时α、β、γ不一定成等差数列,
解 若α、β、γ成等差数列,则2β=α+γ,等式sin(α+γ)=sin2β成立,所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件.选A．
【点评】本题处于三角与数列的交汇点上,数列起过渡作用,重心在三角上.在知识网络的交汇点上设计试题,易发挥考查数学能力的功效,是高考常见的命题形式,需重点留意.
三角与方程
【真题8】已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围

【解析】原方程sinx+cosx=k sin（x+ ）=k,在同一坐标系内作函数y1= sin（x+ ）与y2=k的图象.对于y= sin（x+ ）,令x=0,得y=1.∴当k∈〔1, 〕时,观察知两曲线在〔0,π〕上有两交点,方程有两解.
【点评】本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法.
三角与二次函数
【真题9】（04广东）当 时,函数 的最值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【解析】 ,选（D）.
【点评】转化为关于tanx的二次函数,利用配方法求最值
【考点6】三角函数的应用
【真题10】（06上海）如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30 ,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到 ）?
【解析】 连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10 . ∵ , ∴sin∠ACB= ,
∵∠ACB

（一）高考试题统计分析
1、高考试卷中三角函数试题统计表
试卷 题次 题型 分值 考查内容
全国卷（一） （5） 选择题 5分 正切函数的单调性
（6） 选择题 5分 等比数列、余弦定理
（16） 填空题 4分 导数、三角函数的奇偶性、三角变换
（17） 解答题 12分 三角函数化简，三角函数的周期性与最值...

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（一）高考试题统计分析
1、高考试卷中三角函数试题统计表
试卷 题次 题型 分值 考查内容
全国卷（一） （5） 选择题 5分 正切函数的单调性
（6） 选择题 5分 等比数列、余弦定理
（16） 填空题 4分 导数、三角函数的奇偶性、三角变换
（17） 解答题 12分 三角函数化简，三角函数的周期性与最值

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已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围

【解析】原方程sinx+cosx=k sin（x+ ）=k，在同一坐标系内作函数y1= sin（x+ ）与y2=k的图象.对于y= sin（x+ ），令x=0，得y=1.∴当k∈〔1， 〕时，观察知两曲线在〔0，π〕上有两交点，方程有两解.
【点评】本题是通过函数图象交点个数判断方...

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已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围

【解析】原方程sinx+cosx=k sin（x+ ）=k，在同一坐标系内作函数y1= sin（x+ ）与y2=k的图象.对于y= sin（x+ ），令x=0，得y=1.∴当k∈〔1， 〕时，观察知两曲线在〔0，π〕上有两交点，方程有两解.
【点评】本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法

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