如图,在三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一个动点,求EC+ED的最小值.对称和它们的最小值有什么关系?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 12:14:37
![如图,在三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一个动点,求EC+ED的最小值.对称和它们的最小值有什么关系?](/uploads/image/z/9248893-61-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAC%3DBC%3D2%2C%E8%A7%92ACB%3D90%E5%BA%A6%2CD%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CE%E6%98%AFAB%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E6%B1%82EC%2BED%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%92%8C%E5%AE%83%E4%BB%AC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%9C%89%E4%BB%80%E4%B9%88%E5%85%B3%E7%B3%BB%3F)
如图,在三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一个动点,求EC+ED的最小值.对称和它们的最小值有什么关系?
如图,在三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一个动点,求EC+ED的最小值.对称
和它们的最小值有什么关系?
如图,在三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一个动点,求EC+ED的最小值.对称和它们的最小值有什么关系?
就是镜面反射的原理,两点间线段最短.
同时,EC+ED相同的点构成一个以c,d为焦点的椭圆,椭圆与AB相切的点也是EC+ED的最小值.
对称无非是利用两点之间线段最短。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得:三角形DBE是等腰直角三角形,三角形CBE是直角三角形。
又易得:DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得:CE=根号5
即:EC+ED的最小值=根号5
过C做CF垂直AB,交AB于F,再延长CF到G,使FG=CF,连...
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对称无非是利用两点之间线段最短。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得:三角形DBE是等腰直角三角形,三角形CBE是直角三角形。
又易得:DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得:CE=根号5
即:EC+ED的最小值=根号5
过C做CF垂直AB,交AB于F,再延长CF到G,使FG=CF,连接DG,那么DG和AB交点就是最小值的E所在位置
因为隐藏条件存在△CEF全等△GEF,有CE=EG,两点之间,直线段最短
所以EC+ED最小值是DG的长
因为D是BC边的中点
所以DC=DB
而∠B=∠GCB=45度,AB=2又根号2
CF=根号2,所以CG=2又根号2
所以AB=CG
所以△ADB全等△GDC
所以GD=AD
因为AD=根号5
所以GD=根号5
所以EC+ED最小值是根号5
收起
EC+ED的最小值不就是E和D重合吗
首先得确定两点之间直线最短,把D沿边AB对称到D',连接D'C交AB于E.
所以求得最短是:根号下5
最小值根号5