有关双曲线已知中心在原点的双曲线C:(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N,MN的垂直平分线与两坐标轴围城的面积为81/2,求k的范围.(-无穷,-5/4)∪(-根号5/2,0)∪(0,根号5/2)∪(5/4,+无
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 02:01:44
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有关双曲线已知中心在原点的双曲线C:(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N,MN的垂直平分线与两坐标轴围城的面积为81/2,求k的范围.(-无穷,-5/4)∪(-根号5/2,0)∪(0,根号5/2)∪(5/4,+无
有关双曲线
已知中心在原点的双曲线C:(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N,MN的垂直平分线与两坐标轴围城的面积为81/2,求k的范围.(-无穷,-5/4)∪(-根号5/2,0)∪(0,根号5/2)∪(5/4,+无穷),
有关双曲线已知中心在原点的双曲线C:(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N,MN的垂直平分线与两坐标轴围城的面积为81/2,求k的范围.(-无穷,-5/4)∪(-根号5/2,0)∪(0,根号5/2)∪(5/4,+无
设直线L:y=kx+b(k≠0),代入(x^2)/4-(y^2)/5=1,得x^2(5-4k^2)-8kbx-4b^2-20=0,(x1+x2)/2=4kb/(5-4k^2),(y1+y2)/2=5b/(5-4k^2),▲=64k^2b^2+
4(5-4k^2)(4b^2+20)>0,得b^2>4k^2-5.
所以MN的中点坐标为[4kb/(5-4k^2),5b/(5-4k^2)],
MN的垂直平分线的斜率为-1/k,则MN的垂直平分线方程为:
y-5b/(5-4k^2)=-1/k[x-4kb/(5-4k^2)],y=-x/k+9b/(5-4k^2),
当x=0时,y=9b/(5-4k^2);当y=0时,x=9kb/(5-4k^2);
由题MN的垂直平分线与两坐标轴围成的面积为81/2,
所以1/2*│9b/(5-4k^2)│*│9kb/(5-4k^2)│=81/2,
│b/(5-4k^2)│*│kb/(5-4k^2)│=1,
│kb^2/(5-4k^2)^2│=1,b^2=(5-4k^2)^2/│k│,又由上面得b^2>4k^2-5,
所以(5-4k^2)^2/│k│>4k^2-5,(4k^2-5)(4k^2-5-│k│)>0,
(2│k│-√5)(2│k│+√5)(4│k│-5)(│k│+1)>0,
即解(2│k│-√5)(4│k│-5)>0,结合k≠0得k范围为
(-∞,-5/4)∪(-√5/2,0)∪(0,√5/2)∪(5/4,+∞).