例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY(y)=fx(h(y))|h’(y)|=fx[(y-b)/a]*
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 02:00:23
![例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY(y)=fx(h(y))|h’(y)|=fx[(y-b)/a]*](/uploads/image/z/9301918-22-8.jpg?t=%E4%BE%8B2-27+%E8%AE%BE%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%9E%8B%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%8F%98%E9%87%8FX%E7%9A%84%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%AF%86%E5%BA%A6%E4%B8%BAfx%28x%29%2C%E4%BB%A4Y%3DaX%2Bb%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%2Cb%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%2Ca%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%2C%E6%B1%82Y%E7%9A%84%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%AF%86%E5%BA%A6.y%3Dg%28x%29%3Dax%2Bb%2C%CE%B1%3D%E8%B4%9F%E6%97%A0%E7%A9%B7%2C%CE%B2%3D%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%2Cx%3Dh%28y%29%3D%28y-b%29%2Fa%2Ch%28y%29%27%3D1%2Fa%2C%E7%94%B1%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%BE%97fY%EF%BC%88y%EF%BC%89%3Dfx%EF%BC%88h%EF%BC%88y%EF%BC%89%EF%BC%89%7Ch%E2%80%99%EF%BC%88y%EF%BC%89%7C%3Dfx%5B%EF%BC%88y-b%EF%BC%89%2Fa%5D%2A)
例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY(y)=fx(h(y))|h’(y)|=fx[(y-b)/a]*
例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.
y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY(y)=fx(h(y))|h’(y)|=fx[(y-b)/a]*(1/a的绝对值)
例2-28 N(μ,σ的平方),求:
(1)Y=(X-μ)/σ的概率密度
利用例2-27所得的结论,fx(x)=[1/(2π的开方*σ)]*e的-[(x-μ)的平方/2*σ的平方]次方
(1)a=1/σ,b=-μ/σ,则 fY(y)=fx(σ(y+μ/σ))σ=fx(σy+μ)*σ=1/[2π的开方*σ]*e的-[(σy+μ-μ)的平方/2*σ的平方]次方*σ=[1/2π的开方]*e的-[y的2次方/2]
即Y~N(0,1)
为什么a=1/σ,b=-μ/σ和为什么 fY(y)=fx(σ(y+μ/σ))σ
例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY(y)=fx(h(y))|h’(y)|=fx[(y-b)/a]*
第二个题满足第一个题的题设,所以直接用的第一个题的结论.
第一个题中 Y = g(X) = a X + b ,
第二个题中 Y = g(X) = (X - μ) / σ = (1/σ) X - μ/σ ,
右端的两个式子都是X的一次多项式,1/σ ,μ/σ 是已确定的常数,a ,b 是任意的常数,它们分别的X的系数和常数项,进行对照,第一题是一般性的结论.
所以,在解第二题时,令 1/σ = a ,μ/σ = b ,代入第一题的结论中:
第一题的结论是:
fY( y ) = fX[ (y - b)/a ] * |1/a|
将 a = 1/σ ,b = μ/σ 代入,得
fY( y ) = fX[ (y - μ/σ) * σ ] * |σ| = σ * fX( σ y - μ ) = … .