已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.求△AOB面积的最大值和最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 14:13:09
![已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.求△AOB面积的最大值和最小值.](/uploads/image/z/9355877-53-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%E4%B8%BAO%2C%E9%95%BF%E8%BD%B4%E3%80%81%E7%9F%AD%E8%BD%B4%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA2a%2C2b%E3%80%94a%E3%80%89b%E3%80%890%E3%80%95%2CA+%2CB%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94OA%E2%8A%A5OB.%E6%B1%82%E2%96%B3AOB%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E5%92%8C%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
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已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.求△AOB面积的最大值和最小值.
已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.
求△AOB面积的最大值和最小值.
已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.求△AOB面积的最大值和最小值.
设OA的所在直线方程为y=kx,则OB所在直线方程为y=-x/k;
它们与椭圆的交点A、B坐标(xa,ya)、(xb,yb)满足
xa^2=1/[1/a^2+k^2/b^2]
ya^2=k^2/[1/a^2+k^2/b^2]
xb^2=1/[1/a^2+1/(k^2b^2)]
yb^2=1/[k^2/a^2+1/b^2]
OA^2=xa^2+ya^2=(1+k^2)/[1/a^2+k^2/b^2]
OB^2=xb^2+yb^2=(1+1/k^2)/[1/a^2+1/(k^2b^2)]
1/OA^2+1/OB^2=[1/a^2+k^2/b^2]/(1+k^2)+[1/a^2+1/(k^2b^2)]*k^2/(1+k^2)
=1/a^2+1/b^2为定值.
以中心为极点,x轴为极轴建立极坐标系
方程为ρ^2(cosθ)^2/a^2+ρ^2(sinθ)^2/b^2=1
1/ρ^2=(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2
设A(ρ1,θ),由OA⊥OB得B(ρ2,θ+π/2)
1/OA^2+1/OB^2=1/ρ1^2+1/ρ2^2
=(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2+(cos(θ+π/2))^2/a^2+(sin(θ+π/2))^2/b^2
=(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2+(sinθ)^2/a^2+(cosθ)^2/b^2
=1/a^2+1/b^2
(2)S=1/2|OA|*|OB|
用极坐标 A可表示为(asinθ,bcosθ)