已知数列a1=2,an+1=an+[1/n(n+2)]求{an}的通项公式(过程详细一点,)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 07:05:20
已知数列a1=2,an+1=an+[1/n(n+2)]求{an}的通项公式(过程详细一点,)
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已知数列a1=2,an+1=an+[1/n(n+2)]求{an}的通项公式(过程详细一点,)
已知数列a1=2,an+1=an+[1/n(n+2)]
求{an}的通项公式(过程详细一点,)

已知数列a1=2,an+1=an+[1/n(n+2)]求{an}的通项公式(过程详细一点,)
a(n+1)-an=(1/2)[1/n-1/(n+2)],则:
a2-a1=(1/2)[1/1-1/3]
a3-a2=(1/2)[1/2-1/4]
a4-a2=(1/2)[1/3-1/5]
……
an-a(n-1)=(1/2)[1/(n-1)-1/(n+1)]
全部相加,得:
an-a1=(1/2)[1+1/2-1/n-1/(n+1)]
所以,an=2+(1/2)[3/2-(2n+1)/(n²+n)]

1/n(n+2)=0.5/n-0.5/(n+2)
所以
a2-a1=0.5/1-0.5/3
a3-a2=0.5/2-0.5/4
.....
an-a(n-1)=0.5/n-0.5/(n+2)
各项相加:an-a1=0.5/1+0.5/2-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)
an=2+0.5/1+0.5/2-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)
=2.75-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)

an -a(n-1) = 1/(n-1)(n+1)= [1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
.....
a4-a3=[1/3 - 1/5]/2
a3-a2=[1/2 -1/4]/2
a2-a1=[1-1/3]/2
两边叠加,得
an -a1 =[1+1/2 -1/n - 1/(n+1)]/2
所以 an=2+[3/2-1/n -1/(n+1)]/2

因为a(n+1)=an+1/n(n+2)
所以a(n+1)-an=1/n(n+2)=(1/2)*[1/n-1/(n+2)]
下面利用叠加法求an
a2-a1=(1/2)*(1/1-1/3)
a3-a2=(1/2)*(1/2-1/4)
a4-a3=(1/2)*(1/3-1/5)
a5-a4=(1/2)*(1/4-1/6)
.....
a...

全部展开

因为a(n+1)=an+1/n(n+2)
所以a(n+1)-an=1/n(n+2)=(1/2)*[1/n-1/(n+2)]
下面利用叠加法求an
a2-a1=(1/2)*(1/1-1/3)
a3-a2=(1/2)*(1/2-1/4)
a4-a3=(1/2)*(1/3-1/5)
a5-a4=(1/2)*(1/4-1/6)
.....
a(n-1)-a(n-2)=(1/2)*[1/(n-2)-1/n]
an-a(n-1)=(1/2)*[1/(n-1)-1/(n+1)]
叠加得
an-a1=(1/2)*[1+1/2-1/n-1/(n+1)]=(3n^2-n-2)/[4n(n+1)]
所以an=(3n^2-n-2)/[4n(n+1)]+2=(11n^2+7n-2)/(4n^2+4n)

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