把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 08:02:47
![把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由](/uploads/image/z/9462854-38-4.jpg?t=%E6%8A%8A3%E4%B8%AA%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BAR%E7%9A%84%E7%90%83%E6%94%BE%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A.%E4%BD%BF%E5%AE%83%E4%BB%AC%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E7%9B%B8%E5%88%87%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%94%BE%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E7%90%83%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%85%B6%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%8F%8A3%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E7%90%83%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E7%9B%B8%E5%88%87%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E7%90%83%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84r%E4%B8%8E%E5%A4%A7%E7%90%83%E5%8D%8A%E5%BE%84R%E4%B9%8B%E6%AF%94%E7%90%86%E7%94%B1)
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切
中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比
理由
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
设三个球的中心分别是A、B、C,△ABC中心为D,小球的中心为E,D在平面上的投影为F.
AD²=R²+(0.5AD)²
AD²=4/3*R²
因为FD=r,所以ED=R-r
AE=R+r
AD²+ED²=AE²
4/3*R²+(R-r)²=(R+r)²
4/3*R²=4Rr
r/R=1/3
第一步:将球的问题看成平面的问题,因为两两相切则球心均在同一平面。只看包含球心和切点的那一个平面。
第二步:将平面上三个大圆的圆连接组成三角形,因为圆两两相切且半径均为R,则三角形三边均为2R,为等边三角形。
第三步:将小圆的圆心(设为O)与三个大圆的圆心(即等边三角形三个顶点设为P1、P2、P3)相连,因与三个大园相切,则O与三个P点距离(即OP长度)相同且为R+r。
第...
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第一步:将球的问题看成平面的问题,因为两两相切则球心均在同一平面。只看包含球心和切点的那一个平面。
第二步:将平面上三个大圆的圆连接组成三角形,因为圆两两相切且半径均为R,则三角形三边均为2R,为等边三角形。
第三步:将小圆的圆心(设为O)与三个大圆的圆心(即等边三角形三个顶点设为P1、P2、P3)相连,因与三个大园相切,则O与三个P点距离(即OP长度)相同且为R+r。
第四步:由等边三角形的性质可知,此时O点是三角形的中心,也是重合三个交点(角平分线交点、垂直平分线交点、高的交点),延长OP1至与三角形一边相交于Q,可知角OP2Q为三角形顶角一半即30°。
第五步:综上可知线段QP2/OP2=cos30°,即:R/(R+r)=cos30°,解得r/R=(2-根号3)/根号3
收起
R/3
3个大球两两相切,3切点组成的平面与桌面(题目中的平面)的距离为R
小球球心到桌面距离为r,到大球球心距离为R+r,
小球球心在3切点组成的面的投影为3大球球心组成的三角形的中心,此中心到大球球心的距离为2R/√3小球球心到3切点组成的面的距离的平方为:
(R+r)^2-(2R/√3)^2
3切点组成的面与桌面的距离为:√[(R+r)^2-...
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R/3
3个大球两两相切,3切点组成的平面与桌面(题目中的平面)的距离为R
小球球心到桌面距离为r,到大球球心距离为R+r,
小球球心在3切点组成的面的投影为3大球球心组成的三角形的中心,此中心到大球球心的距离为2R/√3小球球心到3切点组成的面的距离的平方为:
(R+r)^2-(2R/√3)^2
3切点组成的面与桌面的距离为:√[(R+r)^2-(2R/√3)]+r=R
解得:r=R/3
收起
1:根3