求初三奥数题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 18:28:37
求初三奥数题
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求初三奥数题
求初三奥数题

求初三奥数题
因为存在a值,使x2+a2x+a=0有实根,即:存在x值,使关于a的方程xa2+a+x2=0也有实根,故:△=1-4x3≥0,故:x≤(1/4)开3次方
即:该方程的根x所能取的最大值是(1/4)开3次方
因为x2-100x+196=(x-98)(x-2)
即:2≤x≤98时,x2-100x+196=(x-98)(x-2)≤0
故:|x2-100x+196|= -x2+100x-196
故:(x2-100x+|x2-100x+196|)= (x2-100x -x2+100x-196)=-98
即:x=2、3、4、5、…、96、97、98时,y2=y3=y4=…=y97=y98=-98
而x=1时,y1=-2;x=99时,y99=-2;x=100时,y100=196
故:y1+y2+y3+…+y98+y99+y100=-2-2+(-98)×97+196=-9314
因为二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图像经过点A(-1,4)与点B(2,1)
故:a-b+c=4;4a+2b+c=1
故:b=-1-a;c=3-2a
因为与x轴有两个不同的交点
故:△=b2-4ac>0
故:(-1-a) 2-4a(3-2a)>0
故:a>7/9+2√5/9或a<7/9-2√5/9
因为a是正整数,故:a的最小值是2
又:b+c=-1-a+3-2a=2-3a
故:b+c的最大值是-4

1.在三角形ABC中,AB=AC,AD为BC上高,AD的中点是M,CM的延长线交AB于点K
求证:AB=3AK
2.如果一个三角形的三边长度都小于1,则其面积小于根号3/4
3.在直角三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB于点D,DE,DF分别垂直于AC,BC于点E,F,证明AE/BF=AC^3/BC^3
4.设0为锐角,满足4/SIN^2 0 +9/COS...

全部展开

1.在三角形ABC中,AB=AC,AD为BC上高,AD的中点是M,CM的延长线交AB于点K
求证:AB=3AK
2.如果一个三角形的三边长度都小于1,则其面积小于根号3/4
3.在直角三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB于点D,DE,DF分别垂直于AC,BC于点E,F,证明AE/BF=AC^3/BC^3
4.设0为锐角,满足4/SIN^2 0 +9/COS^2 0=25
则8/SIN^4 0 +27/COS^4 0=??
5.设A,B为实数,求A^2+AB+B^2-A-2B的最小值
6.求出函数Y=X^2-2X-3/2X^2+2X+1的最大值和最小值
7.求满足X+Y+Z=1
X^3+Y^3+Z^3=1的全部整数解

1.由梅捏劳斯定理,得AK/KB ×BC/CD ×DM/MA=1,则AK/BK=1/2,故AB=3AK
2.设∠A存在最小角
则A≤1/3×180°=60°
设夹A角的两边长伟b,c由假设b,c均小于1
∴S△=bc sinA/2≤sin60°/2=√3/4
3.由已知条件易知DE=CF,且∠EDA=∠CDF=∠B
∴有tan∠EDA=AE/DE
tan∠CDF=CF/DF
∴tanB=DF/BF=AC/BC
故有AC³/BC³=tanB³=tanB×tan∠CDF×tan∠EDA
=DF/BF × AE/DE ×CF/DF =AE/BF
∴AE/BF=AC³/BC³
4. ∵sin0²+cos0²=1
又由已知条件,
∴得4cos²0+9(1-cos²0)=25cos²0(1-cos²0)
即(5cos0²-3)²=0
cos²0=3/5
∴sin²0=2/5
5.a²+ab+b²-a-2b
=a²+(b-1)a+b²-2b
=a²+(b-1)a+(b-1)²/4+3b²/4-3b/2-1/4
=〖a+(b-1)/2〗²+3(b-1)²/4-1
得其式子≥-1(指-1前面一个部分)
当a+(b-1)/2=0
b-1=0
即a=0
b=1时,上面这个不等式等号成立
∴最小值为-1
6.去分母,得
(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0
当x≠1/2时,这是一个二次方程
∵x是实数
∴该式子≥0
即〖(2(y+1)〗²-4(2y-1)(y+3)≥0
解得-4≤y≤1
且x=-1/3时,y=4
当x=-2时,y=1
∴y的最大值为1
最小值为-4
即-4≤y≤1
7.由x+y+z=1得z=1-(x+y)
带入x³+y³+z³=1
得(x+y)(x²-xy+y²+x+y+2)=0
即,(x+y)〖(x-y)²+(x+1)²+(y+1)²-6〗=0
∴有x=-y或者(x-y)²+(x+1)²+(y+1)²=6
∵6表示为3个整数的平方和的方式
∴6=(±2)²+(±1)²+(±1)²
∴(x1,y)=(0,-2)(-2,0),(-3,-2),(-2,-3),(1,0),(0,1)
∴原方程组的全部整数解有
x=n---x=0---x=-2---x=-2---x=1---x=0
y=-n--y=-2---y=0=--y=-3---y=0----y=1
z=1---z=3----z=3---z=6----z=0---z=0

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中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b 满足(b+2)的绝对值+(2a-4)的绝对值+根号(a-3)b&...

全部展开

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b 满足(b+2)的绝对值+(2a-4)的绝对值+根号(a-3)b²+4=2a ,则a+b 等于( ).
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
【答】C.
由题设知a≥3,所以,题设的等式为 ,于是 ,从而 =1.
2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).
(A) (B) (C)1 (D)2
【答】A.
因为△BOC ∽ △ABC,所以 ,即

所以, .
由 ,解得 .
3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为 ,第二次掷出的点数为 ,则使关于x,y的方程组 只有正数解的概率为( ).
(A) (B) (C) (D)
【答】D.
当 时,方程组无解.
当 时,方程组的解为
由已知,得 即 或
由 , 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有 5×2=10种情况;或 共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为 .
4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB‖DC, . 动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为( ).
(A)10 (B)16 (C)18 (D)32


【答】B.
根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故
S△ABC= ×8×4=16.
5.关于x,y的方程 的整数解(x,y)的组数为( ).
(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组
【答】C.
可将原方程视为关于 的二次方程,将其变形为

由于该方程有整数根,则判别式 ≥ ,且是完全平方数.
由 ≥ ,
解得 ≤ .于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
显然,只有 时, 是完全平方数,符合要求.
当 时,原方程为 ,此时 ;
当y=-4时,原方程为 ,此时 .
所以,原方程的整数解为

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .
【答】3750.
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加,得 ,
则 .
7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则 的值为 .
如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF .
由题设知 , ,在△FHA和△EFA中,

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,
.
而 ,所以 .
8.已知 是满足条件 的五个不同的整数,若 是关于x的方程 的整数根,则 的值为 .
【答】 10.
因为 ,且 是五个不同的整数,所有 也是五个不同的整数.
又因为 ,所以

由 ,可得 .
9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为 的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .
【答】 .
如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 .
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且 .
作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由 ,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF‖AC,所以

即 ,
解得 .所以 .
10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .
【答】 .
设报3的人心里想的数是 ,则报5的人心里想的数应是 .
于是报7的人心里想的数是 ,报9的人心里想的数是 ,报1的人心里想的数是 ,报3的人心里想的数是 .所以

解得 .
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.函数 的图象与 轴的两个交点是否都在直线 的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线 的右侧时k的取值范围.
不一定,例如,当k=0时,函数的图象与x轴的交点为(0,0)和
(1,0),不都在直线 的右侧. ………………5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为 ,则 ,当
且仅当满足如下条件
………………10分
时,抛物线与 轴的两交点都在直线 的右侧.

解之,得 ………………15分
所以当 时,抛物线与 轴的两交点在直线 的右侧.
………………20分
12.在平面直角坐标系 中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数 的图象上所有“好点”的坐标.
设 ,m,k都是非负整数,则

即 . ……………10分
则有
解得
所以
故“好点”共有4个,它们的坐标是:

………………20分
13.如图,给定锐角三角形ABC, ,AD,BE是它的两条高,过点 作△ABC的外接圆的切线 ,过点D,E分别作 的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.
解法1:结论是 .下面给出证明. ………………5分
因为 ,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

同理可得 .
………………10分
又因为 ,所以有 ,于是可得
. ………………20分
解法2:结论是 .下面给出证明.
……………… 5分
连接DE,因为 ,所以A,B,D,E四点共圆,故
. ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线,所以 . ………………15分
所以, ,于是DE‖FG,故DF=EG.
………………20分
14.n个正整数 满足如下条件: ;
且 中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.
设 中去掉 后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数 , .即 .
于是,对于任意的1≤ ≤n,都有

从而 . ………………5分
由于 是正整数,故
. ………………10分
由于
≥ ,
所以, ≤2008,于是n ≤45.
结合 ,所以,n ≤9. ………………15分
另一方面,令 ,…, ,
,则这9个数满足题设要求.
综上所述,n的最大值为9. ………………20分

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