已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 00:50:10
已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
xTn@~""[P /Riׇ*Դw $Rhi4 @Vz蛠ݵs:ZK[Af`FMޤg}0'T^]<:r].Qz{ >}Ӄ*#oiU?Myrg〽1ר]*+NvIS|@XA(  l'Z }^Ӓ]LĠ,.`y/mj7.e*ג%#Dr`tAuU=kBNOD 9`.fX&A5&;<ރ"y&h_v|do]I Ct Xi{ fd "

已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件

已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
>=3+2+2+2=9

均值定理：
a+b+c≥3³√abc
(1/a+1/b+1/c)≥3³√1/abc
原式≥9³√abc×1/abc=9
得证

1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
...

全部展开

1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
ac/b+ab/c≥2a
将以上三式相加，即可得到结论，所以得证
2.已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9

收起

已知abc为三个正实数求证a^2/b+b^2/c+c^2/a>a+b+c 已知a,b,c为正实数~求证（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9 已知a,b,c,d为正实数,求证：下列三个不等式a+b 设abc为正实数,求证:a+b+c 已知a,b,c为正实数且a+b>c,求证a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c) 已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证b/(a+1)+c/(b+1)+a/(c+1)≥3/4 已知a,b,c,x,y,z为正实数,求证ax/(a+x)+by/(b+y)+cz/(c+z) 已知a,b,c属于正实数,求证求证(a/b+b/c+c/a)(b/a+c/b+a/c)大于等于9 已知a,b,c属于正实数,求证:(a+b+c)(a²+b²+c²)>=9abc 已知a、b、c、d为正实数,a>b、c>d,若b/a 已知：a,b,c为正实数,且a+b+c=1求证：根号a + 根号b +根号c小于等于根号3 已知abc为正实数,求证2/a＋b＋2/b＋c＋2/c＋a≥9/a＋b＋c 已知A,B,C为正实数,A＋B＋C＝1,求证：A方＋B方＋C方大于等于1／3 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证1/a+1/b+1/c≥9. 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：（a/1-1）(b/1-1)(c/1-1)≥8 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8 已知a,b,c均为正实数,a+b+c=1,求证：a^2+b^2+c^2>=1/3 已知a,b,c为正实数,a+b+c=1求证:a平方+b平方+c平方≥1/3