作业帮拉普拉斯算符怎么用
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 21:20:56
拉普拉斯算符怎么用
拉普拉斯算符怎么用
拉普拉斯算符怎么用
拉普拉斯算子中文名称：拉普拉斯算子英文名称：Laplacian 定义：对于标量场函数f,为该标量场梯度的散度的一个标量,即对于矢量场函数,f为该矢量场散度的梯度减去该矢量场旋度的旋度的一个矢量,即所属学科：电力（一级学科）；通论（二级学科） 定义 拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度（）的散度（）.因此如果f是二阶可微的实函数,则f的拉普拉斯算子定义为： (1) f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数： (2) 作为一个二阶微分算子,拉普拉斯算子把C函数映射到C函数,对于k ≥ 2.表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :C(R) → C(R),或更一般地,定义了一个算子Δ :C(Ω) → C(Ω),对于任何开集Ω. 函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式二维空间 其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为：
三维空间 笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法
N 维空间 在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中,拉普拉斯算子为： 其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子.我们也可以把的项写成.
恒等式 如果f和g是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ),是一个特殊情况.这个情况在许多物理模型中有所出现.f(r)的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： 因此：
推广 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间,这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子,或超双曲型算子. 在闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子： 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程.第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号.因子c是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量,y方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子.
拉普拉斯-贝尔特拉米算子 主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子.达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子.拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）. 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯-德拉姆算子,它运行于微分形式.这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来.