一道高一数学有关圆的方程的解答题平面上有两点A(-1,0),B(1,0)点P在圆(x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2取最小值时点P的坐标.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 23:27:42
![一道高一数学有关圆的方程的解答题平面上有两点A(-1,0),B(1,0)点P在圆(x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2取最小值时点P的坐标.](/uploads/image/z/999164-20-4.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%B8%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%89%E5%85%B3%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E8%A7%A3%E7%AD%94%E9%A2%98%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%82%B9A%28-1%2C0%29%2CB%EF%BC%881%2C0%EF%BC%89%E7%82%B9P%E5%9C%A8%E5%9C%86%28x-3%29%5E2%2B%28y-4%29%5E2%3D4%E4%B8%8A%2C%E6%B1%82%E4%BD%BFAP%5E2%2BBP%5E2%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%97%B6%E7%82%B9P%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87.)
一道高一数学有关圆的方程的解答题平面上有两点A(-1,0),B(1,0)点P在圆(x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2取最小值时点P的坐标.
一道高一数学有关圆的方程的解答题
平面上有两点A(-1,0),B(1,0)点P在圆(x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2取最小值时点P的坐标.
一道高一数学有关圆的方程的解答题平面上有两点A(-1,0),B(1,0)点P在圆(x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2取最小值时点P的坐标.
(根号2,+3.根号2,+4)
用参数方程法。
设P点坐标(3+2cost,4+2sint)
AP^2+BP^2=(4+2cost)^2+(4+2sint)^2+(2+2cost)^2+(4+2sint)^2
=4[(2+cost)^2+2(2+sint)^2+(1+cost)^2]
=4[4+4cost+(cost)^2+8+8sint+2(sint)^2+1+2cost+(cost)^2]
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用参数方程法。
设P点坐标(3+2cost,4+2sint)
AP^2+BP^2=(4+2cost)^2+(4+2sint)^2+(2+2cost)^2+(4+2sint)^2
=4[(2+cost)^2+2(2+sint)^2+(1+cost)^2]
=4[4+4cost+(cost)^2+8+8sint+2(sint)^2+1+2cost+(cost)^2]
=4[15+6cost+8sint]
=4[15+10sin(t+u)], u=arctan(6/8)=arctan(3/4)
因此最小值为4[15-10]=20
此时t+u=3π/2, 即t=3π/2-u
cost=cos(3π/2-u)=cos(u+π/2)=-sinu=-3/5
sint=sin(3π/2-u)=sin(u-π/2)=-cosu=-4/5
P点坐标为(3-6/5, 4-8/5),即(9/5, 12/5)
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