狗追兔子视频

篇一：狗追兔子的问题

狗追兔子的问题

摘要

技术科学中往往遇到大量的微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。在自然科学和微分方程问题。通过对高级微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型。在模型的求解过程中应用数学软件等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

关键词

微分方程 数学建模猎狗追兔

问题的提出

现有一只兔子，一只猎狗，兔子位于猎狗的正西100米处。假设兔子与猎狗同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而猎狗在追兔子，已知兔子、猎狗是匀速跑且猎狗的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全逃回到巢穴？

问题的假设

建立平面直角坐标系，取兔子跑时的坐标为原点（0，0），兔子位于狗的正西100米处，从而取狗的坐标为（100，0）。取任意时刻兔子的坐标为（a,b），狗的坐标为（c,d）。

模型的分析与建立

我们可以在任意时刻用Q表示兔子的坐标点，用P表示狗的坐标点。兔子的运动轨迹为直线，狗的运动轨迹为一条曲线，此曲线可看做由一些向量构成的折线。。

狗和兔子的运动轨迹如下图

变量说明

v1：兔子的速度

v1 v2：狗的速度，且v2?2

t：狗追击兔子的时间

s1：在时刻t，兔子跑过的路程，s1?s1(t)

s2：在时刻t，狗跑过的路程，s2?s2(t)

Q(x1,y1)：表示在时刻t时，兔子的坐标 P(x,y)：表示在时刻t时，狗的坐标 模型假设

狗追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P(x,y)的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为y?y(x)。

模型建立

由于狗始终朝向兔子，则在狗所在位置P(x,y)点过狗的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y1。

设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为

Y?y?y?(X?x)

令X＝0，则截距Y?y?y?x。

此时y1?v1t。

则此时截距等于兔子所跑过的路程，则：Y?y1， 所以：Y?y1?y?y?x

?y1?v1t 在t时刻，兔子跑过的路程为s1

由于狗的速度是兔子的2倍，则狗跑的路程为s2则： ?rs1?ry1 s2??100

x?y?2dx 所以可得：?100

x?y?2dx?ry1?r(y?y?x) 对其两边求对x的导，化简得

此微分方程的初始条件为：?y?2y???rx yx?100?0y?x?100?0

要判定狗是否追上兔子， 可以通过微分方程来判定。 当x＝0，如果计算求解得到y?60，则视为没有追上； 当x＝0，如果计算求解得到y?60，则视为兔子被追上； 模型求解

程序设计：

#include #include void main()

{

double Y[10000],X[10000],y[10000],T=0.01,v=10,sinA,cosA;y[0]=0;Y[0]=0;X[0]=100; for(int i=0;;i++)

运行结果：

通过上面运行结果可知，狗没有追上兔子。

篇二：数学建模 猎狗追兔子问题

数学建模论文

《数学建模》(2014

春)课程期末论文

摘要

（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通

过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例

子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词

微分方程 导数的几?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我庖?猎狗追兔子 数学建模 数学软件

一、问题重述

如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，

此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

请回答下面的问题：

⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？

⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的

距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。

二、问题分析与假设

在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标

系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。

1.假设兔子的运动是?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyurenzuowen/" target="_blank" class="keylink">人俚摹?/p>

2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。 3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。 4.猎狗运动时总是朝向兔子。

三、模型的建立及求解

3.1 符号规定

1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。 2. t：从开始到问题结束经过的时间。 3. a:猎狗奔跑的路程。 4. v:猎狗的奔跑速度。 3.2 模型一的建立与求解

猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA要有交点

以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有

N

O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0W 点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，y），而兔子到达了D（0，8t），则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有

：

dyy?8t

?dxx

da

?

vdt

da?三式联立消去t，得到;

d2y8x2?dxv设：

8q?

v

若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：

dyd2ydp

??p2

dx dx dx

得到：

dx

?qx得到：

dp

p(250?)

xq

p??()

250

250q

p???()

x

两式联立相加得到：

dy1xq250q

?[()?()]dx2250x

1.如果q=1即v=8 m/s 得到

y(250)?0

x?0,y?? 所以此情况无交点，所以v=8m/s猎狗无法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到

1x2?250xy?[?250ln()]2500250

250q

1?q2 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;

v??8q??1

解得到：

即

/s

所以这种情况下能够追上的最小速度是

. x?0,y?

3.如果q>1 利用上式得到x?0,y??，所以这种情况不能追上兔子。

2501xq1250q?12q

y?[()?()?2]2q?12501?qx1?q

3.3 模型二的建立与求解

如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路

y?

程

5qy5q

t??

1?q2，所用放的时间88(1?q2)，那么猎狗的的路程a=tv;

带入数值解得

3.4 模型三的建立与求解

篇三：狗追兔子问题

理论力学课程小论文

狗追兔子问题

2011011576 力1 陈梓钧

目标：1找到简化条件，使得狗的轨迹方程有解析解；

2 寻找在简化条件下，狗一定能抓住兔子的“抓获区域”； 3 研究当狗在“抓获区域”内时，兔子的规避动作；

4 讨论狗有提前量的条件下，问题能否求解，并寻找最佳提前量。

一、 在简化模型下寻找狗轨迹方程的解析解

简化假设：以兔子的起点为原点，兔子与窝的连线为y轴建立坐标系，窝的位置为（0,1）。兔子与狗均全速奔跑，速度分别为a与b，a

dydx

为狗满足的微分积分方程组

xdy x0 1+ dx (?dx)=bt (2)

化简得

=?

at?yx

(1)

dyaxdy2

x=y?y0+ 1+ dx x0两边求导得

d2ydx2

1

c11+y0

a

dy

=b 1+ dx（3）

aa

通过变量代换，解此微分方程，可得

y=2

x

1+

?

c1?11?

ax

1?

+c2 (4) x0

1?

aax0

=2 c1x0?c1

c11+

1

?1

y0=2

1

x0

1+

a?

c1?11?

x0 +c2

(5)

其中（x0,y0）为狗的起始位置。求解的步骤在附页中。 实例：令（x0,y0）=（1,0）用MATLAB的ode45命令， 得到曲线如图1。其中绿色线为ode45所解 出的数值解，蓝色线为（4）得到的解析解。

图1

图2

分别令a/b=1/3(红),1/2(绿),1/1.5(蓝)得到图2 令（x0,y0）=(1,1)，(0,1.5)，(-0.3,0.7)，a/b=1/2 可得如图3所示各曲线。

图3

二、 寻找一定能抓住兔子的范围

在（一）的假设下考虑。临界情况为狗在洞口抓住兔子，所以不妨反向考虑，设兔子和狗从洞口夹θ角同时出发，仍满足速度约束条件。

dydx

方程组变为：

xdy 0 1+ dxdx=bt (7)同样可以解出：

dydx

=?

1?y ?at

x

(6)

=2[c1x?c1

1

ab

?1?b

x] ( 8 )

a

刚出发时x=0：

limx→0+dx∞

故θ=0，狗一定沿y轴抓住兔子。 将（7）更换为等价条件： dt + dt =b2( 9 ) 由于

dx? ==b[]

dx2

dy2

dy

dy?

==b[ 设f t = at?1+y , 结合(9)可得：

????dx????d at?1+y

???? =+

′

1dx2dy2???? = + +??=b+

两边对t积分得

??????

令t=0,x=0,y=1,可得c=?

????

??

=bt+??+??

化简得（具体步骤见附页）：

??2??2???2

+

(???1)2??2

=??

2

(10)

这是一个随时间反演不断扩大的椭圆，中心是洞，兔子在椭圆焦点出发，狗若在椭圆内，则可以追上兔子。如图4所示。

图5 图4

进一步讨论：当狗位于“捕获区间”内，如果兔子跑折线，能否逃脱追捕？ 根据MATLAB的数值模拟结果，在某些情况下的确可以逃脱追捕。

不妨作进一步简化，假设兔子只能在途中折转一次，折转不需要时间。如图5，随着兔子跑动，临界椭圆一边偏转，一边收缩，可能可以让狗离开椭圆内部。临界情况如图6，由于轨迹方程已知，狗的坐标x(t),y(t)已知，而动椭圆方程也是关于t的单值函数。

参数方程具体的解法见附页。（a=1，b=2）

3(?????) 3(?????2)23 ?????2 3(?????2)22?6?6 xt= ?+(+??1 + ??()+??1

1111

1

12

??1 3(?????2)3(?????2)23 ?????2 3(?????2)2

?6?6 ?? ?? = ?+ ()+??1 + ?? (+??1

1111

?

13(?????2)3(?????2)23 ?????2 3(?????2)2

{ ?+ (+??1?6 + ?? ()+??1?6 } 11111

1

3

13

13

13

3

作坐标变换

???????? ???????????= ?? ?????????? ??????????

其中θ(t)为椭圆的转角,可以把斜椭圆?0 ??,?? =??2

化为x-y平面上的椭圆φ0 ??,?? =??0(??)

??=?? ??

??=?? ?? 联立

φ0 ??,?? =??0 ??

消去x,y后得到的是关于t的方程，当系数条件满足有 实根时可得t0>0。于是，只要兔子在此处折转朝向洞口跑， 即可逃脱（但并不是最安全的方案）。

??0=??(????)由此确定了折转点

??0=??(????)

由有唯一实根时所满足的系数条件，可得到一个关于c1,c2和初始偏转角Ψ的方程H(c1,c2，Ψ)=0，再令此方程关于Ψ有唯一解，可得另一个仅关于c1,c2的方程。由于c1,c2是初始条件X0,y0的函数，可得到狗的临界区间φ1 ??,?? =??1(??)。这是解析解。

以上过程称为第一次迭代。

图

6

图7

用FORTRAN计算得φ1 ??,?? =??1(??)如图7中内部边界（似乎是个8边形），意义为： 在该边界内，即便兔子折转1次，也不能逃脱追捕；而在两边界之间，不折转就必被追上，若折转1次则可能逃脱追捕。

如图8，在u-v系内，在上面折转一次也必被抓住的情况下，狗必然落在椭圆内（以下称椭圆为C0, 零级边界；依次可定义C1，一级边界）。如此，在倾转角度后，图形的形态和??=??(??)第一次迭代完全相同。写出u-v坐标系下的狗的轨迹参数方程 和φ1 ??,?? =??1(??)，

??=??(??)??1=??(??1)

。用坐标逆变换可以返回 ??1=??(??1) 联立之，解出t1，可以得到第二转折点

??1=??(??1)

??1=??(??1)

以上过程称为第二次迭代。 注意到第1、2次迭代的方程已经不是二次方程，故不能用判别式确定临界区间的边界。FORTRAN中用蒙特卡洛法粗略确定边界如上图所示，具体程序代码见附件。

在上述两步中，理论上已经可以确定了两个转折点的坐标。如果图8中狗还落在边界C1内，那么兔子即便转折2次也不能逃脱追捕。

继续以上迭代过程，得到φ?? ??,?? =????(??) (n=1,2,3….)和逃脱边界Cn，如图9。

这个函数列不能收敛于线段。首先，曲线必然包括兔子和兔子洞在内，所以若收敛，则必收敛于线段，那么狗在全平面上任何一点都不可追上兔子，这和实际情况矛盾。

lim??→∞φ?? ??,?? =c(t)

如果该极限存在，则可确定一个区域，在此区域外，兔子一定能通过跑某种模式的折线逃脱追捕。（由于以上条件都不是最优解，在区域内未必不能逃脱追捕）

篇四：MATLAB实验报告(猎狗追兔子的问题)

MATLAB实验报告

电气14班 张程 2110401120

2012年4月12日星期四

一．实验目的

1.学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题。

2.学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型。

3.了解级计算机数据仿真、数据模拟的基本方法。

二．实验题目

有一只猎狗在B处发现了一只兔子在

正东北方距离它200米的地方O处，此

时兔子开始以8米每秒的速度向正西北

方向距离为120米的洞口A全速跑去，

假设猎狗在追赶兔子时始终朝着兔子

的方向全速奔跑。

（1） 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？

（2） 选取猎狗的速度分别为15、18米每秒，计算猎狗追

上兔子是所跑过的路程和所用的时间。

（3） 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。

三．实验过程

（1

）将所有路径转化入第一象限，从而转化为教材中缉私

艇和走私船的问题。

兔子起始位置为（0，0），奔跑方向为

始位置为（200，0）。

兔子刚好被追上时跑的距离Y=CR/1-R2。（R为兔子与猎狗速度之比）

时间T=CR/A(1-R2)=BC/(B2-A2)。

当兔子进洞的时候刚好被追到，这种情况下猎狗所需速度最小。将C=200,Y=120带入方程并利用

MATLAB求解： Y轴正方向，猎狗起

所以最小速度为17.08m/s。

(2)程序如下：

运行结果：t =18.2000s =273.0000

将程序中b改为18运行结果为：t =13.6000s =244.8000 兔子跑过距离分别为145.6000、108.8000，所以第一次兔子已经进洞，猎狗追不上。

（3）

下图分别为猎狗速度为18m/s、15m/s时的模拟图。

篇五：数学建模论文_-_猎狗追兔子问题

数学建模论文

论文题目：猎狗追兔子问题

姓名1：舒忠明 学号：1025114016 手机：18059230476 姓名2：王福松 学号：1025114032 手机：18750929592 姓名3：吴非凡 学号：0715112015 手机：18060913163

2010计算机1班

2012-10-5

猎狗追兔子问题

摘要

本文讨论了分别用微分模型，计算机仿真模型求解猎狗追兔子的问题，猎狗追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息。

微分模型计算得到猎狗能追上兔子的最小速度是17.0803米/秒，在这种情况下，猎狗跑过的路程是256.2045米。

计算机仿真模型形象的演示了猎狗追击兔子的状态和路线。

技术科学中往往遇到大量的微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。在自然科学和微分方程问题。通过对高级微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型。在模型的求解过程中应用数学软件等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

关键词：数学建模 猎狗 兔子 追击 计算机仿真

Matlab

目录

一、问题重述与分析 ................................................................................................................. 4

1.1问题描述 ............................................................................................................................... 4

1.2问题分析 ............................................................................................................................... 4

二、模型假设 ................................................................................................................................. 5

三、符号说明 ................................................................................................................................. 5

四、微分模型建立 ...................................................................................................................... 5

五、微分模型求解 ...................................................................................................................... 7

5.1方程求解 ............................................................................................................................... 7

5.2最小速度 ............................................................................................................................... 7

5.3猎狗跑过的路程 .................................................................................................................. 8

5.4奔跑曲线 ............................................................................................................................... 8

5.5 Matlab编程求解 ................................................................................................................ 9

六、计算机仿真 .......................................................................................................................... 15

6.1计算机仿真模型的建立 .................................................................................................. 15

6.2仿真程序 ............................................................................................................................. 17

6.3显示追击路线的程序....................................................................................................... 19

七、模型的评价 .......................................................................................................................... 21

7.1、优点 ................................................................................................................................... 21

7.2、缺点 ................................................................................................................................... 22

7.3、改进方向 .......................................................................................................................... 22

八、参考文献 ............................................................................................................................... 22

一、问题重述与分析：

1.1问题描述：

某有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用微积分方程理论解、微积分方程数值解、计算机仿真法等多种方法完成下面的实验：

(1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？

(2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？

(3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。

(4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子

之间的距离为30米时，兔子由于害怕,

奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴

奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情

况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。

1.2问题分析：

1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。

2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知识，对微分方程进行求解。

体裁作文