如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于(1,根号3),求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围;(2)若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 04:25:09
![如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于(1,根号3),求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围;(2)若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.](/uploads/image/z/1003949-53-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BAS%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8FAB%2A%E5%90%91%E9%87%8FBC%3D2%281%29%E8%8B%A5S%E5%B1%9E%E4%BA%8E%EF%BC%881%2C%E6%A0%B9%E5%8F%B73%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%E5%90%91%E9%87%8FAB%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8FBC%E7%9A%84%E5%A4%B9%E8%A7%92a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5S%3D3%2F4%7C%E5%90%91%E9%87%8FAB%7C%2C%E6%B1%82%7C%E5%90%91%E9%87%8FAC%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于(1,根号3),求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围;(2)若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2
(1)若S属于(1,根号3),求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围;
(2)若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于(1,根号3),求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围;(2)若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
【解】(1) 向量AB*向量BC=2,则|AB|*|BC|cos(180°-B)=2,
即|AB|*|BC|cosB=-2,
又因面积S=(1/2)|AB|*|BC|sinB,即|AB|*|BC|sinB=2S,
两式相除得:sinB /cosB=-S,即 tan B=-S,
S属于(1,根号3),所以tan B属于(-根号3,-1),
B属于(120°,135°).
向量AB与向量BC的夹角a=180°-B属于(45°,60°).
(2)s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=(3/4)|AB|,
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB
将|BC|=3/(2 sinB)代入得
2=(-3/2)|AB|cosB/ sinB,
|AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.
由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB
=9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4
【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2
=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2
=1+1/(tanB)^2,代入上式】
上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(16/9)(tanB)^2+4
=(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式
≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2] +4+9/4
=4+4+9/4=41/4.
∴|AC|≥√41/2.
当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.
此时tanB=-3√2/4.