求级数1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 13:03:23
求级数1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和.
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求级数1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和.
求级数1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和.

求级数1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和.
1+3=2^2
1+3+5=3^2
1+3+5+7=4^2
1+3+5+7+9=5^2
……
1+3+5+……(2n+1)=(n+1)^2利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...至n项之和
就是平方数数列求和啊。
从1开始的连续平方数求和直接套用公式SN = N(N+1)(2N+1)/6