平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 06:12:25
![平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.](/uploads/image/z/10154901-21-1.jpg?t=%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5A%28-3%2C0%29B%281%2C0%29C%280%2C3%29%2C%E5%9C%A8AC%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E7%82%B9M%2C%E4%BD%BF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2AOM%E4%B8%8E%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9B%B8%E4%BC%BC%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%87%BA%E7%82%B9M%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%2C%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.
平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,
若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.
平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.
存在两个M点
1.过O作OM平行BC 交AC于M,因为OM∥CB,角MOA=角CBA,角A是公共角
则三角形AOM∽三角形ABC
设直线AC的方程为Y=AX+B,把A,B两点坐标代入 则
-3A+B=0
3=B
解得A=1 所以直线AC的方程为Y=X+3
设直线BC的方程为Y=CX+D,把C,B两点坐标代入 则
C+D=0
3=D
解得C=-3 所以直线BC的方程为Y=-3X+3
因为OM∥BC,且OM过原点O,所以OM的方程为Y=-3X
又M为两直线的交点,设坐标为(X,Y)
Y=X+3
Y=-3X
解得 X=-3/4 Y=9/4 M点坐标(-3/4,9/4)
2.因为AC²=AO²+CO² AC=3根号2 BC²=CO²+BO² BC=根号10
过点O作OM,使得角MOA=角ACB,同样三角形AOM∽三角形ABC
OM:BC=AO:AC
OM=BC*AO/AC=根号10* 3/(3根号2)=根号5
过M作MN⊥X轴,交于N,因为ABO为直角等腰三角形,则AN=MN,
设ON=X 则NM=AN=AO-ON=3-X
因此 X²+(3-X)²=OM²=5
解得:(2X-4)(X-1)=0 X1=2(不合题意,舍去),X2=1
所以MN=2
M点的坐标为(-1,2)
设M(x,y)
①当OM//BC时,△ABC∽△AOM
K(MO)=K(BC)
∴y/x=-3,则y=-3x 又∵M在AC上,∴y=x+3
联立方程组得:x=-3/4 y=9/4
∴M(-3/4,9/4)
②当△ABC∽△AMO时,
AO/AC=AM/AB
∴解得AM=2×根号2
又∵角A=45° ∴y=2 x=-3+2=-1
∴M(-1,2)