施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 14:16:58
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施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
设x=(x1,x2...xn)
y=(y1,y2...yn)
则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2
[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)
首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0
z是未知数,其他的是参数.
我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0
那么它的Δ
柯西—施瓦茨不等式
开放分类: 数学、不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上,柯西—施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式,例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Herman...
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柯西—施瓦茨不等式
开放分类: 数学、不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上,柯西—施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式,例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式说,若x和y是实或复内积空间的元素,那麼
。
等式成立当且仅当x和y是线性相关。
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果,是内积为连续函数。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式,可以用范的写法表示:
。
证明
实内积空间的情形:
注意到y = 0时不等式显然成立,所以可假设非零。对任意,可知
。
现在取值,代入后得到
。
因此有
。
复内积空间的情形
证明类上。对任意,可知
。
现在取值,代入后得到
,
因此有
。
特例
对欧几里得空间Rn,有
。
对平方可积的复值函数,有
。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
在3维空间,有一个较强结果值得注意:原不等式可以增强至等式
。
[编辑]参见
http://baike.baidu.com/view/979424.htm
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