若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+za+b+c=1所以x^2+y^2+z^2=6x^2+y^2=6-z^2设m=x+y+z则x+y=m-z因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2所以6-z^2>=(m-z)^2/2所以3z^2-2mz+m^2-12=0m
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 01:56:46
![若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+za+b+c=1所以x^2+y^2+z^2=6x^2+y^2=6-z^2设m=x+y+z则x+y=m-z因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2所以6-z^2>=(m-z)^2/2所以3z^2-2mz+m^2-12=0m](/uploads/image/z/10215118-46-8.jpg?t=%E8%8B%A5a%2Bb%2Bc%3D1%2C%E6%B1%82%E2%88%9A%283a%2B1%29%2B%E2%88%9A%283b%2B1%29%2B%E2%88%9A%283c%2B1%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E8%BF%87%E7%A8%8B%EF%BC%9A%E8%AE%BEx%3D%E2%88%9A%283a%2B1%29%2Cy%3D%E2%88%9A%283b%2B1%29%2Cz%3D%E2%88%9A%283c%2B1%29%2Ct%3Dx%2By%2Bza%2Bb%2Bc%3D1%E6%89%80%E4%BB%A5x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D6x%5E2%2By%5E2%3D6-z%5E2%E8%AE%BEm%3Dx%2By%2Bz%E5%88%99x%2By%3Dm-z%E5%9B%A0%E4%B8%BAx%5E2%2By%5E2%3E%3D%28x%2By%29%5E2%2F2%E6%89%80%E4%BB%A56-z%5E2%3E%3D%28m-z%29%5E2%2F2%E6%89%80%E4%BB%A53z%5E2-2mz%2Bm%5E2-12%3D0m)
若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+za+b+c=1所以x^2+y^2+z^2=6x^2+y^2=6-z^2设m=x+y+z则x+y=m-z因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2所以6-z^2>=(m-z)^2/2所以3z^2-2mz+m^2-12=0m
若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值
过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12<=0
开口向上的抛物线小于等于0有解则判别式大于等于0
所以4m^2-12(m^2-12)>=0
m<=3√2
所以√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=m<=3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值=3√2
在上述过程中“x^2+y^2>=(x+y)^2/2”什么意思
若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值过程:设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+za+b+c=1所以x^2+y^2+z^2=6x^2+y^2=6-z^2设m=x+y+z则x+y=m-z因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2所以6-z^2>=(m-z)^2/2所以3z^2-2mz+m^2-12=0m
由题设a+b+c=1及柯西不等式可得:18=3×6=(1²+1²+1²)[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]².===>√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)≤3√2.∴[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]max=3√2.
因为已经有x^2+y^2=6-z^2和x+y=m-z两个等式,为了求最终的m,所以尽量将x,y和z转化为带m的项,这个不等式x^2+y^2>=(x+y)^2/2所起的所用就是降幂和消元。
这个是均值不等式的变形 老师应该会讲的