微分学基本定理的一道题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 18:42:38
微分学基本定理的一道题
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微分学基本定理的一道题
微分学基本定理的一道题

微分学基本定理的一道题
先考虑k = 1的情形.
由下确界的定义,对任意ε > 0,存在a ∈ I₁使得|f(a)| < m₀(I₁)+ε,
同理,存在b ∈ I₃使得|f(b)| < m₀(I₃)+ε.
由Lagrange中值定理,存在c ∈ (a,b) ⊆ I,使f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).
可知|f'(c)| = |f(b)-f(a)|/(b-a) ≤ |f(b)-f(a)|/μ ≤ (|f(b)|+|f(a)|)/μ < (m₀(I₁)+m₀(I₃))/μ+2ε/μ.
于是m₁(I) ≤ |f'(c)| < (m₀(I₁)+m₀(I₃))/μ+2ε/μ.
由ε的任意性,可得m₁(I) ≤ (m₀(I₁)+m₀(I₃))/μ,即k = 1时结论成立.
对一般的k,只需用f(x)的k-1阶导数替代上述结论中的f(x)即可.