作业帮f(x)=(1+sinx+cosx+sin2x)/(1+sinx+cosx)（1）求f(x)最小周期（2）求f（x)在[0,2π]上的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/06 18:04:21
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f(x)=(1+sinx+cosx+sin2x)/(1+sinx+cosx)（1）求f(x)最小周期（2）求f（x)在[0,2π]上的最值
f(x)=(1+sinx+cosx+sin2x)/(1+sinx+cosx)（1）求f(x)最小周期（2）求f（x)在[0,2π]上的最值
f(x)=(1+sinx+cosx+sin2x)/(1+sinx+cosx)（1）求f(x)最小周期（2）求f（x)在[0,2π]上的最值
首先化简
f(x)=(1+sinx+cosx+sin2x)/(1+sinx+cosx)=[(sinx+cosx)^2+sinx+cosx]/(1+sinx+cosx)=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx)/(1+sinx+cosx)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
故f(x)最小正周期为2π
当x∈[0,2π]时,(x+π/4)∈[π/4,9π/4],则sin(x+π/4)取值范围为[-√2/2,1],则f(x)最小值为-1,最大值为√2.
f(x)＝(1＋sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin²x+cos²x+sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin²x+2sinxcosx+cos²x+sinx＋cosx)/(1＋sinx＋cosx);
=[(sinx＋cosx)²+sinx＋cosx...
全部展开
f(x)＝(1＋sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin²x+cos²x+sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin²x+2sinxcosx+cos²x+sinx＋cosx)/(1＋sinx＋cosx);
=[(sinx＋cosx)²+sinx＋cosx]/(1＋sinx＋cosx);
=(sinx＋cosx)×(sinx＋cosx+1)/(sinx＋cosx+1)
=sinx＋cosx
=√2（√2/2sinx＋√2/2cosx）
=√2sin(x+π/4])
f(x)最小周期=2π
(2)（x)在[0,2π]
那么x+π/4在[π/4,2π+π/4])
最大值=√2
最小值=-√2
收起